南京德才教育2005-2016（高考真题）汇整（导数函数）纯Word呕心沥血整理

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ann线方程为y??2a(x?)，即y??2anx?an，则f(n)?a……………3分

2nf(n)?1n3?3（II）由（I）知f(n)?a，则成立的充要条件是an?2n3?1，

f(n)?1n?1n即知，an?2n3?1对所有n成立，特别地，取n?2得到a?17，当a?17，n?3时，

123123an?4n?(1?3)n?1?Cn?3?Cn?32?Cn?33?...?1?Cn?3?Cn?32?Cn?33

1?1?2n3?n[5(n?2)2?(2n?5)]?2n3?1，当n?0,1,2时，显然(17)n?2n3?1，故a?17时，2f(n)?1n3?对所有自然数n都成立,所以满足条件的a的最小值为17…………..8分

f(n)?1n3?1（III）由（I）知f(k)?a，则

nk?k?1nn11f(1)?f(n)a?an??k,? 2kf(k)?f(2k)k?1a?af(0)?f(1)1?a下面证明：

?k?1127f(1)?f(n)127???x. ，首先证明：当0?x?1时，

f(k)?f(2k)4f(0)?f(1)x?x2481227x(x2?x)?1,0?x?1，则g?(x)?x(x?).

43422当0?x?时，g?(x)?0；当?x?1时，g?(x)?0，

332127?x. 故g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min?g()?0，所以，当0?x?1时，g(x)?0，即得

3x?x24127kk*?a，从而 由0?a?1知0?a?1(k?N)，因此ka?a2k4设函数g(x)??k?1nn1127nk27a?an?127a?an27f(1)?f(n)??????a??……………14分 ??4f(0)?f(1)f(k)?f(2k)k?1ak?a2k4k?141?a41?a

（2012新课标文）21．（本小题满分12分）设函数f(x)?e?ax?2。 （1）求f(x)的单调区间；

（2）若a?1，k为整数，且当x?0时，(x?k)f'(x)?x?1?0，求k的最大值。

x【解析】（1）函数f(x)的定义域为(??,??)，且f'(x)?e?a。

x当a?0时，f'(x)?0，f(x)在(??,??)上是增函数；当a?0时，令f'(x)?e?a?0，得x?lna。 x令f'(x)?e?a?0，得x?lna，所以f(x)在(lna,??)上是增函数， x令f'(x)?e?a?0，得x?lna，所以f(x)在(??,lna)上是减函数，

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（2）若a?1，则f(x)?ex?x?2，f'(x)?e?1。所以(x?k)f'(x)?x?1?(x?k)(ex?1)?x?1，

xxex?1x(ex?1)?x?1x?1故当x?0时，(x?k)f'(x)?x?1?0等价于k?x， ??x?xxe?1e?1e?1?xex?1ex(ex?x?2)x?1x?1?1??x（x?0）?x，即当x?0时，k?x。 ①,令g(x)?x则g'(x)?x。

(e?1)2(ex?1)2e?1e?1由（1）知，函数h(x)?e?x?2在(0,??)单调递增，而h(1)?e?3?0，h(2)?e?4?0，所以h(x)在

x2(0,??)存在唯一的零点。1,2)故g'(x)在(0,??)存在唯一的零点。设此零点为?，则??(0,?)时，。当x?(g'(x)?0；当x?(?,??)时，g'(x)?0。所以g(x)在(0,??)的最小值为g(?)。又由g'(?)?0，可得

e????2，所以g(?)???1e?1??????1?(2,3)，由于①式等价于k?g(?)???1?(2,3)，故整数k的

最大值为2。【点评】本小题主要考察利用导数求单调区间，导数的综合应用。

x?1（2012新课标理）（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)满足满足f(x)?f?(1)e?f(0)x?12x； 2（1）求f(x)的解析式及单调区间；（2）若f(x)?【解析】（1）f(x)?f?(1)ex?112x?ax?b，求(a?1)b的最大值。 21?f(0)x?x2?f?(x)?f?(1)ex?1?f(0)?x，令x?1得：f(0)?1，

21f(x)?f?(1)ex?1?x?x2?f(0)?f?(1)e?1?1?f?(1)?e，

212xxx得：f(x)?e?x?x?g(x)?f?(x)?e?1?x，g?(x)?e?1?0?y?g(x)在x?R上单调递增，

21f?(x)?0?f?(0)?x?0,f?(x)?0?f?(0)?x?0，得：f(x)的解析式为f(x)?ex?x?x2，

2且单调递增区间为(0,??)，单调递减区间为(??,0)。 （2）f(x)?12x?ax?b?h(x)?ex?(a?1)x?b?0得h?(x)?ex?(a?1)， 2①当a?1?0时，h?(x)?0?y?h(x)在x?R上单调递增，x???时，h(x)???与h(x)?0矛盾； ②当a?1?0时，h?(x)?0?x?ln(a?1),h?(x)?0?x?ln(a?1)， 得：当x?ln(a?1)时，h(x)min?(a?1)?(a?1)ln(a?1)?b?0，

(a?1)b?(a?1)2?(a?1)2ln(a?1)(a?1?0)，令F(x)?x2?x2lnx(x?0)；则F?(x)?x(1?2lnx)， F?(x)?0?0?x?e,F?(x)?0?x?e，

当x?e时，F(x)max?ee，当a?e?1,b?e时，(a?1)b的最大值为。

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（2012福建文）已知函数f(x)?axsinx?（1）求函数f(x)的解析式；

（2）判断函数f(x)在(0,?)内的零点个数，并加以证明． 【测量目标】已知三角函数最值问题求其解析式.

【考查方式】给出含有未知量的三角函数和其最值求其解析式. 【试题解析】（1）f(x)?axsinx????33(a?R)，且在[0,]上的最大值为．

222?3??3?在[0,]上恒成立，且能取到等号，

222??在[0,]上恒成立，且能取到等号，

22???g(x)?xsinx?在[0,]上恒成立，且能取到等号，

22a??g(x)max?，（步骤1）

2a?∵g?(x)?sinx?xcosx?0，∴g(x)在[0,]上上单调递增，

2???3?，∴a?1，∴f(x)?xsinx?．∴g()?（步骤2）

22a223（2）∵f(x)?xsinx?，∴f?(x)?sinx?xcosx，（步骤3）

2??①当x?(0,]时，f?(x)?0，∴f(x)在(0,]上上单调递增，

22??3??3?0，∴y?f(x)在(0,]上有唯一零点， ∵f(0)?f()???2222?②当x?(,?)时，令g(x)?sinx?xcosx，

2?∴g?(x)?2cosx?xsinx?0，∴g(x)在(,?)上单调递减，（步骤4）

2??∵g()?g(?)?1???0，∴在(,?)上存在g(m)?0，

22??∴当x?(,m)时，g(x)?g(m)?0，即f?(x)?0，f(x)在(,m)上单调递增，（步骤5）

22?????3?0，∴f(x)在(,m)上无零点，当x?(m,?)时，g(x)?g(m)?0，故当x?[,m]时，f(x)…f()?2222?axsinx?即f?(x)?0，f(x)在(m,?)上单调递减，又f(m)?0，f(?)?0，∴f(x)在(m,?)上有且仅有一个零点，综上所述：f(x)在(0,?)内有两个零点．（步骤6）

(22) (2012山东文) (本小题满分13分)已知函数f(x)?曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.

(Ⅰ)求k的值；

lnx?k(k为常数，e?2.71828???是自然对数的底数)，ex第 12 页 共 115 页

(Ⅱ)求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)设g(x)?xf?(x)，其中f?(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x?0,g(x)?1?e?2. 11?k?lnx?k?0，∴k?1. 【答案】(I)f?(x)?x，由已知，f?(1)?eex1111?lnx?1(II)由(I)知，f?(x)?x.设k(x)??lnx?1，则k?(x)??2??0，即k(x)在(0,??)上是减函数，

xxxex由k(1)?0知，当0?x?1时k(x)?0，从而f?(x)?0，当x?1时k(x)?0，从而f?(x)?0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,??).

?2(III)由(II)可知，当x?1时，g(x)?xf?(x)?0?1?e?2，故只需证明g(x)?1?e在0?x?1时成立.当

0?x?1时，ex?1，且g(x)?0，∴g(x)?1?xlnx?x?1?xlnx?x.设F(x)?1?xlnx?x，x?(0,1)，则

exF?(x)??(lnx?2)，当x?(0,e?2)时，F?(x)?0，当x?(e?2,1)时，F?(x)?0，所以当x?e?2时，F(x)取得最

?2?2大值F(e?2)?1?e?2.所以g(x)?F(x)?1?e. 综上，对任意x?0，g(x)?1?e.

an22、（2012四川文）(本小题满分14分) 已知a为正实数，n为自然数，抛物线y??x?与x轴正半轴相交

2于点A，设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距． （Ⅰ）用a和n表示f(n)；

f(n)?1n?（Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值；

f(n)?1n?1f(1)?f(n?1)111??????（Ⅲ）当0?a?1时，比较与6?的大小，并说明理由．

f(0)?f(1)f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)2anananan22【解析】（Ⅰ）令?x??0，得x?，则A(或x??，0)．由y'??2x知，点A处的切线方程为

22222anannny??2(x?)．令x?0，得y?a，∴f(n)?a．

22f(n)?1n?（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(n)?an，则成立的充要条件是an?2n?1，

f(n)?1n?1即知，an?2n?1对于所有的n成立，特别地，取n?1得到a?3．

1?2?当a?3，n?1时，an?3n?(1?2)n?1?Cn?2n?1．当n?0时，an?2n?1．

f(n)?1n?故a?3时，对所有n都成立．所以满足条件的a的最小值为3．

f(n)?1n?1（Ⅲ）由（Ⅰ）知f(k)?ak．下面证明：首先证明：当0?x?1时，当0?x?111f(1)?f(n?1)???????6?．

f(1)?f(2)f(2)?f(4)f(n)?f(2n)f(0)?f(1)122??6xg(x)?18x(x?)． g(x)?6x(x?x)?10?x?1，设函数，，则

x?x232221时，g?(x)?0；当?x?1时，g?(x)?0．故g(x)在(0,1)上的最小值g(x)min?g()??0， 33391?6x． x?x2111k???6a，从而k2kf(1)?f(2)f(2)?f(4)a?a?1

f(n)?f(2n)所以当0?x?1时，g(x)?0，即得

由0?a?1知0?ak?1(k?N*)，因此