南京德才教育2005-2016（高考真题）汇整（导数函数）纯Word呕心沥血整理

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（2012北京理）18．（本小题共13分）已知函数f(x)?ax?1(a?0)，g(x)?x?bx. （1）若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值； （2）当a2?4b时，求函数f(x)?g(x)的单调区间，并求其在区间???,?1?上的最大值.

2解：（1）由(1,c)为公共切点可得：f(x)?ax?1(a?0)，则f?(x)?2ax，k1?2a，

23g(x)?x3?bx，则f?(x)=3x2?b，k2?3?b，?2a?3?b①

?a?3f(1)?a?1g(1)?1?b?又，，a?1?1?b，即a?b，代入①式可得：?．

?b?31232（2）a2?4b，?设h(x)?f(x)?g(x)?x?ax?ax?1

412aa2则h?(x)?3x?2ax?a，令h?(x)?0，解得：x1??，x2??；

264a?a?aa??a?a?a?0，????，?原函数在???，??单调递增，在??，??单调递减，在??，???上单调递增

2?6?26??2?6?aa2①若?1≤?，即a≤2时，最大值为h(1)?a?；

24aa?a?②若???1??，即2?a?6时，最大值为h????1

26?2?a?a?≥?时，即a≥6时，最大值为h????1． ③若?16?2?2?a?a综上所述：当a??0，2?时，最大值为h(1)?a?；当a??2,???时，最大值为h????1．

?2?4（2012江苏）（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y?kx?1(1?k2)x2(k?0)表示的曲线20上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 解：（1）∵炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹方程为

y（千米） 122y?kx?(1?k)x(k?0)，炮的射程是指炮弹落地点的横

20坐标，∴令y?0，则炮的射程可表示为

1， 1?k2??20O ∴炮的最大射程即x的最大值.由题意得x?0，k?0，

k2020x????10km11∴，当且仅当k?2时，221?k??k?20k等号成立，∴炮的最大射程是10km。

x?kx（千米）

（第17题） （2）∵飞行物在第一象限内，其飞行高度为3.2千米，横坐标为a，∴飞行物的坐标为?a,3.2?， ∴炮弹可以击中它，即飞行物的坐标满足炮弹的轨迹方程，∴将飞行物坐标带入炮弹的轨迹方程得：

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3.2?ka?1(1?k2)a2(k?0)，∴关于k的方程在k?0上有解，∴a2k2?20ak?a2?64?0有正根. 2022∵a?0，∴只需????20a??4a?a2?64??0，∴a?6，即a只需要不超过6km即可。

【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中．

32（2012江苏）（本小题满分16分）已知a,b是实数，1和?1是函数f(x)?x?ax?bx的两个极值点．

（1）求a和b的值；

（2）设函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2，求g(x)的极值点；

2]，求函数y?h(x)的零点个数． （3）设h(x)?f(f(x))?c，其中c?[?2，322解：（1）∵1和?1是函数f(x)?x?ax?bx的两个极值点，∴1和?1是方程f'(x)?3x?2ax?b?0的两个

根，由韦达定理得1???1???2ab，1???1??，∴a?0，b??3. 33（2）∵函数g(x)的导函数g?(x)?f(x)?2，

32∴令g?(x)?f(x)?2?x?3x?2??x?1?x?x?2??x?1??x?2??0，解得x1?1，x2??2，

??2①当x?x1时，g'?x??0，当x?x1时，g'?x??0，∴x1?1不是g?x?的极值点， ②当x?x2时，g'?x??0，当x?x2时，g'?x??0，∴x1??2是g?x?的极大值点， （3）令f?x??t，则h?x??f?t??c，讨论关于x的方程f?x??d,d???2,2?的根的情况，

当d?2时，由（2）得f?x???2的两个不同的根为1和?2，注意到f?x?是奇函数，所以f?x???2的两个不同的根为?1和2。

当d?2时，因为f??1??d?f?2??d?2?d?0，f?1??d?f??2??d??2?d?0 所以?2,?1,1,2都不是f?x??d的根，由（1）知f'?x??3?x?1??x?1?，

?当x??2,???时，f'?x??0，于是f?x?是单调递增函数，从而f?x??f?2??2，此时f?x??d无实根，同理，f?x??d在???,?2?上无实根。

?当x??1,2?时，f'?x??0，于是f?x?是单调递增函数，又f?1??d?0，f?2??d?0，y?f?x??d的图像不间断，所以f?x??d在?1,2?内有唯一实根，同理，f?x??d在??2,?1?内有唯一实根。

,?时，f'?x??0，故f?x?是单调减函数，又f??1??d?0，f?1??d?0，y?f?x??d的?当x???11 第 3 页 共 115 页

,?内有唯一实根。 图像不间断，所以f?x??d在??11由上可知，当d?2时，f?x??d有两个不同的根x1，x2满足x1?1，x2?2； 当d?2时，f?x??d有三个不同的根x3，x4，x5满足xi?2,i?3,4,5； 现考虑函数y?h?x?的零点：

（1）当c?2时，f?t??c有两个根t1,t2满足t1?1，t2?2，而f?x??t1有三个不同的根，f?x??t2有两个不同的根，故y?h?x?有5个零点；

（2）当c?2时，f?t??c有三个不同的根t3,t4,t5满足ti?2,i?3,4,5，而f?x??ti?i?3,4,5?有三个不同的根，故y?h?x?有9个零点；综上所述，当c?2时，函数y?h?x?有5个零点；当c?2时，函数y?h?x?有9个零点。【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系统，

要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大．

（17）（2012安徽文）（本小题满分12分）设定义在?0,???上的函数f(x)?ax?（Ⅰ）求f(x)的最小值；

（Ⅱ）若曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?1?b(a?0) ax3x，求a,b的值。 2【解析】（I）f(x)?ax?（II）由题意得：f(1)?111?b?2ax?b?b?2，当且仅当ax?1(x?)时，f(x)的最小值为b?2

aaxax313113?a??b? ①，f?(x)?a?2?f?(1)?a?? ②，由①②得：2a2axa2a?2,b??1.

（2012安徽理）（19）（本小题满分13分）K]设f(x)?ae?（I）求f(x)在[0,??)上的最小值；

（II）设曲线y?f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y?xx1?b(a?0). xae3x；求a,b的值。 211a2t2?1【解析】（I）设t?e(t?1)；则y?at?， ?b?y??a?2?atatat2①当a?1时，y??0?y?at?11?b在t?1上是增函数，得：当t?1(x?0)时，f(x)的最小值为a??b； ata 第 4 页 共 115 页

11?b?2?b，当且仅当at?1(t?ex?,x??lna)时，f(x)的最小值为b?2. ata11xx（II）f(x)?ae?x?b?f?(x)?ae?x，

aeae②当0?a?1时，y?at?12?2?ae??b?3a??f(2)?3?????ae2e2?? 由题意得：?. 3???131f(2)???ae2??b???22??ae2?2?21.解：(1)对于方程2x?3(1?a)x?6a?0，判别式??9(1?a)?48a?3(a?3)(3a?1)。 因为0?a?1，所以a?3?0。

221?a?1时，??0，此时B?R，所以D?A??0,???； 31当a?时，??0，此时B?{x|x?1}，所以D?(0,1)(1,??)；

312当0?a?时，??0，设方程2x?3(1?a)x?6a?0的两根为x1,x2且x1?x2，

3当则x1?3(1?a)?3(a?3)(3a?1)3(1?a)?3(a?3)(3a?1)，x2?，B?{x|x?x1或x?x2}

44x1?x2??(0,3(1?a)?0，x1x2?3a?0，所以x1?0,x2?0，此时，D?(0,x1)(x2,??) 23(1?a)?3(a?3)(3a?1)3(1?a)?3(a?3)(3a?1))(,??)

44综上可知，当0?a?当a?

13(1?a)?3(a?3)(3a?1)3(1?a)?3(a?3)(3a?1)时，D?(0,)(,??)； 3441时，D?(0,1)(1,??) 3（2012湖南文）22.（本小题满分13分）已知函数f(x)?e?ax，其中a?0. （1）若对一切x?R，f(x)?1恒成立，求a的取值集合； （2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1,f?x1?),B(x2,f?x2?)，(x1?x2)记直线AB的斜率为k，证明：存在

xx0?(x1,x2),使f?(x0)?k恒成立.

x【解析】解：f?(x)?e?a,令f?(x)?0得x?lna.当x?lna时f?(x)?0,f(x)单调递减；当x?lna时

f?(x)?0,f(x)单调递增，故当x?lna时，f(x)取最小值f(lna)?a?alna.于是对一切x?R,f(x)?1恒