2019年东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)高考数学三模试卷(文科)

在（-∞，-）和（，+∞）上单调递减．所以②错；

）上单调递减，在[-，

]上单调递

对于③，由②知，函数f（x）在（-∞，-增，在（

，+∞）上单调递减．当x→∞时y=

），

→0，所以当x→∞时，f（x）

→b，所以|f（x）|≤max{f（-}，所以存在存在M＞0，使|f（x）|≤M；

，b不一定为0，④错误；

对于④若g（x）有零点，只需|f（x）|=1，即b=

对于⑤，当a=-20，b=9，c=1时，g（x）=0的解集为{1，-1，2，-2}．故⑤正确； 故填：①③⑤． 对于①根据y=

是定义域R上的奇函数，f（x）是由y=

向上平移b

个单位得到，故①正确；对于②，求导后讨论f（x）的单调性即可得到结论；对于③结合②的结论，|f（x）|≤max{f（-有零点，得b═

），

}，故③正确；对于④，由g（x）

，b不一定为0，所以④错误；对于⑤举出实例即可．

本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性、函数的最值、函数的零点等．属于难题．

17.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，2sinA?sinB（1-tanA?tanB）=tanA?tanB，

∴两边同时乘以cosAcosB，可得2sinA?sinB（cosAcosB-sinAsinB）=sinA?sinB， ∴2cosAcosB-2sinAsinB=1，即2cos（A+B）=1，即cos（A+B）=，∴A+B=，∴C=． （Ⅱ）

sinA-cosB=

sinA-cos（-A）=

sinA-cosA-sinA=sinA-cosA=sin（A-），

∵A∈（0，），∴A-∈（-，），∴sin（A-）∈（-，）， sinA-cosB的取值范围为（-，）． 【解析】

（Ⅰ）△ABC中，由题意利用三角恒等变换求得cos（A+B）=，可得A+B=，可得∠C的大小． （Ⅱ）化简

sinA-cosB为sin（A-），再利用正弦函数的定义域和值域，求得

它的取值范围．

本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

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（I）证明：取AC的中点O，连接OB，OD， 18.【答案】

∵AB=BC，△ACD是等边三角形，

∴OB⊥AC，OD⊥AC，

∴O，B，D三点共线，故BD⊥AC， ∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PA⊥BD，

又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A， ∴BD⊥平面PAC， 又BD?平面PBD，

∴平面PBD⊥平面PAC．

（II）解：取CD的中点N，连接MN，BN，则MN∥PD， ∴∠BMN为异面直线BM与PD所成的角或其补角， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AD，PA⊥AC， ∵AB=BC=，AC=2，∴BC⊥AB，

又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，故BC⊥PB， ∴△PBC是直角三角形， ∴BM=PC=?在△BCN中，BN=又MN=PD=?故cos∠BMN=

==

， ，

．

=

，

=2+

，

∴直线PD与BM所成角的余弦值为【解析】

（I）取AC中点O，可证BD⊥AC，由PA⊥平面ABCD可得PA⊥BD，故而BD⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面PBD；

（II）取CD中点N，则∠BMN为所求角，求出△BMN的各边长，利用余弦定理计算cos∠BMN．

本题考查了面面垂直的判定，异面直线所成角的计算，属于中档题．

19.【答案】解：（Ⅰ）根据题意填写茎叶图如下；

计算=×（346+357+358+360+362+362+364+372+373+376）=363，

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=×（313+321+322+324+330+332+334+343+350+361）=333， -=363-333=30（N），

所以实验前后握力的平均值下降了30N；---------（4分） （II）=80，=80，

（ti-）（yi-）=-1800，

=（0-80）2+（20-80）2+（40-80）2+（60-80）2+（80-80）2+（100-80）2+

222

（120-80）+（140-80）+（160-80）=24000；

回归系数为===-0.075，

==80-（-0.075）×80=86，---------（9分）

y关于时间t的线性回归方程为：=-0.075t+86；----------（10分）

（III）九组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入

疲劳状态，

所以使用鼠标60分钟就该休息了．---------（12分） 【解析】

（Ⅰ）根据题意填写茎叶图，计算平均值

、

，求出

- 的值；

（II）计算平均值，求出回归系数、，写出y关于t的线性回归方程； （III）根据题意知40分钟到60分钟y的下降幅度最大，说明60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，该休息了．

本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是中档题．

20.【答案】解：（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），F（0，1），

∴直线AF的斜率为

，

x+1，

由已知直线BF斜率存在，直线BF的方程为y=令y=-1，x=∴B（

，

，-1），

直线AB的斜率为==，由y=知，y′|=，

∴直线AB与抛物线相切．

（II）A（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），

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直线AM的斜率为直线AN的斜率为∵AM⊥AN， ∴

?

=-1，

==

=，

，

2

∴x1x2+x0（x1+x2）+x0=-16，

∴

2∴x-

，

x-4=0，

，x1x2=-4 x0-4=-16，

∴x1+x2=

2∴x0+

2

∴y0-2y0-3=0 ∵y0＞0， ∴y0=3， 又x0＞0， ∴x0=2，

∴存在A（2，3），使得AM⊥AN． 【解析】

（I）设A（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），分别求出直线AF的斜率，可得直线BF的方程，求出点B的坐标，根据直线核对斜率公式和导数的几何意义已即可证明．

（Ⅱ）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），求出直线AM，AN的斜率，根据直线的垂

2

直可得x1x2+x0（x1+x2）+x0=-16，再根据韦达定理，即可求出点A的坐标．

本题考查抛物线的性质，直线的斜率公式，导数的几何意义，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．

21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），

当k=0时，f′（x）=g′（x）=

，令g（x）=

，

，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减． ∴g（x）max=g（1）=-1＜0，则f′（x）＜0．

∴f（x）的减区间为（0，1），（1，+∞），无增区间； （Ⅱ）f（x）＞0?

＞0?k＜

（x＞1）．

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