“子墨课堂”一元二次方程专题能力培优（含答案）

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2.一元二次方程的根的判别式△=b-4ac与一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的关系： 当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数解； 当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数解； △<0时，一元二次方程没有实数解.

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3.一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2与系数a、b、c之间存在着如下关系： x1+x2=﹣，x1?x2=.

温馨提示： 22

1.x+6x+m是一个完全平方式，易误以为m=3.

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2.若一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2有双层含义：（1）ax1+bx1+c=0，ax2+bx2+c=0；（2）x1+x2=﹣，x1?x2=.

方法技巧：

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1.求二次三项式ax+bx+c极值的基本步骤：（1）将ax+bx+c化为a（x+h）+k；（2）当a>0，

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k>0时，a（x+h）+k≥k；当a<0，k<0时，a（x+h）+k≤k.

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2.若一元二次方程ax+bx+c=0的两个根为x1．x2，则ax+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）． 3.解绝对值方程的基本思路是将绝对值符号去掉，所以要讨论绝对值符号内的式子与0的大小关系.

4.解高次方程的基本思想是将高次方程将次转化为关于某个式子的一元二次方程求解. 5.利用根与系数求解时，常常用到整体思想.

答案： 1.A 解析：根据题意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．

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2. ±3 解析：据题意得，m=9，∴m=±3．

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3.证明：－2x+4x－5=－2（x－2x）－5=－2（x－2x+1）－5+2=－2（x－1）－3.

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∵（x－1）≥0，∴－2（x－1）≤0，∴－2（x－1）－3＜0.

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∴无论x为何实数，代数式－2x+4x-5的值恒小于零．

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4.A 解析：△=（2c）﹣4（a+b）（a+b）=4（a+b+c）（c﹣a﹣b）.

根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．

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5.A 解析：当kx+3x+1=0为一元一次方程方程时，必有实数根，此时k=0； 当kx+3x+1=0为一元二次方程且有实数根时，如果有实数根，则?22

2

k?0?.解得2?3?4?k?2?0k?99且k≠0.综上所述k?. 882

2

6.A 解析：∵一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b－4ac22

＝0，又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b－4ac＝0得（－a－c）－4ac＝0，化简得（a2

－c）＝0，所以a＝c．

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7.13 解析：由题意得x+y-5=±8.解得x+y=13或者x+y=－3（舍去）.

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8.解：①当x+2≥0，即x≥－2时，x+2（x+2）－4=0，∴x+2x=0.解得x1=0，x2=－2；

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②当x+2＜0，即x＜-2时，x－2（x+2）－4=0，∴x－2x－8=0. 解得x1=4（不合题设，舍去），x2=－2（不合题设，舍去）． 综上所述，原方程的解是x=0或x=－2． 9.?11，﹣3；，3．

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发现的一般结论为：若一元二次方程ax+bx+c=0的两个根为x1．x2，则

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ax+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．

11.8 解析：∵x1x2＝－3，x2+4x2－3=0，

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∴2x1(x2+5x2－3)+a =2转化为2x1(x2+4x2－3+ x2)+a =2. ∴2x1x2+a =2.∴2×(－3)+a＝2.解得a＝8.

2

12.解：（1）根据题意，得△=（2a）－4×a（a－6）=24a≥0．∴a≥0． 又∵a－6≠0，∴a≠6．

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2aa，x1x2=. a?6a?62aa由－x1＋x1x2=4＋x2 得x1＋x2 ＋4=x1x2.∴－＋4 =，解得a=24．

a?6a?62aa经检验a=24是方程－＋4 =的解．

a?6a?62aa6（2）原式=x1＋x2 ＋x1x2 ＋1=－＋＋1=为负整数，

a?6a?66?a由根与系数关系得：x1＋x2=－

∴6－a为－1或－2，－3，－6.解得a=7或8，9，12．

13.解：（1）2，－1， 6．

32232

（3）由n+3n-2=0可知n≠0,∴1+－2=0.∴2－ －1=0.

nnnn12

又2m-3m-1=0,且mn≠1，即m≠．

n12

∴m、是方程2x-3x-1=0的两根．

n

13111121321132

∴m+= ,m·=－,∴m+ 2=(m+ )-2m·=( )-2·(－)= .

n2n2nnn224

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2.3 一元二次方程的应用

专题一、利用一元二次方程解决面积问题 1.在高度为2.8m的一面墙上，准备开凿一个矩形窗户．现用9.5m长的铝合金条制成如图所

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示的窗框．问：窗户的宽和高各是多少时，其透光面积为3m（铝合金条的宽度忽略不计）．

2.如图：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

3. 数学的学习贵在举一反三，触类旁通.仔细观察图形，认真思考，解决下面的问题： （1）在长为am，宽为bm的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路（如图（1）），则余下草坪的面积可表示为 m；

（2）现为了增加美感，设计师把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图（2）），则此时余下草坪的面积为 m；

（3）聪明的鲁鲁结合上面的问题编写了一道应用题，你能解决吗？相信自己哦！ （如图（3）），在长为50m，宽为30m的一块草坪上修了一条宽为xm的笔直小路和一条长恒为xm的弯曲小路（如图3），此时余下草坪的面积为1421m．求小路的宽x.

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专题二、利用一元二次方程解决变化率问题 4.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长

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率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每年的增长率．（取 2≈1.41）

5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感 染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效 控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

6.（2012·广元）某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元的价格出售，由于 国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米5670 元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开放商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

专题三、利用一元二次方程解决市场经济问题 7.（2012·济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定： 如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所 出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终 向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？

8.（2012·南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的售 价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元,每多售出1 部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部；月底厂家根据销售量一次性返利给销售公 司，销售10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元. (1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元.

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