(全国通用版)高考数学一轮复习第六章数列课时达标检测(二十九)数列的综合问题(文)

(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，

n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn.

??x1＋x1q＝3，

解：(1)设数列{xn}的公比为q，由已知得q>0.由题意得?2

??x1q－x1q＝2.

所以3q－5q2

－2＝0.因为q>0，所以q＝2，x1＝1，因此数列{xn}的通项公式为xn＝2

n－1

.

(2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1.由(1)得xn＋1－xn＝2－21)×21)×2

nn－1

＝2

n－1

，记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn，由题意得bn＝

－1

0

1

n＋n＋1

2

×2

n－1

＝(2n＋

n－2

，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝3×2＋5×2＋7×2＋…＋(2n－1)×2

n－3

＋(2n＋

n－2

.①

0

1

2

又2Tn＝3×2＋5×2＋7×2＋…＋(2n－1)×2①－②得－Tn＝3×2＋(2＋2＋…＋2321－2

＝＋21－2

n－1

－1

2

n－2

＋(2n＋1)×2

n－1

n－1

.②

n－1

)－(2n＋1)×2

－(2n＋1)×2

nn－1

.

2n－1×2＋1所以Tn＝.

2

3．(2018·河北二市联考)在等比数列{an}中，an>0(n∈N)，a1a3＝4，且a3＋1是a2和

*

a4的等差中项，若bn＝log2an＋1.

(1)求数列{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝an＋1＋

1

，求数列{cn}的前n项和．

b2n－1·b2n＋1

解：(1)设等比数列{an}的公比为q，且q>0， 在等比数列{an}中，由an>0，a1a3＝4得，a2＝2，① 又a3＋1是a2和a4的等差中项， 所以2(a3＋1)＝a2＋a4，②

把①代入②得，2(2q＋1)＝2＋2q， 解得q＝2或q＝0(舍去)， 所以an＝a2qn－2

2

＝2

n－1

，

n则bn＝log2an＋1＝log22＝n. (2)由(1)得，cn＝an＋1＋＝2＋

n1

b2n－1·b2n＋1

1

2n－1

2n＋1

1?1?1n－＝2＋??，

2?2n－12n＋1?

5

所以数列{cn}的前n项和

Sn＝2＋22＋…＋2n＋

12

?1－1＋?1－1?＋…＋?1－1??

?35??2n－12n＋1???3??????

＝21－21－2

n＋1

n1?1?

＋?1－

2n＋1?2??

＝2－2＋

n. 2n＋1

n23n4．(2018·河北定州中学阶段性检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝＋.

22(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝an＋2－an＋5＋. 12

解：(1)因为Sn＝＋，①

22所以当n≥2时，Sn－1＝

1

，且数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<2nan＋2·ann23nn－1

2

2

＋

3n－1

，② 2

所以由①②两式相减得an＝Sn－Sn－1＝＋－

22又因为n＝1时，a1＝S1＝2适合an＝n＋1， 所以an＝n＋1.

(2)证明：由(1)知bn＝n＋3－(n＋1)＋1?1?1－＝2＋??， 2?n＋1n＋3?所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

11?1?1111

－＝2n＋?－＋－＋…＋ n＋1n＋3?2?2435?11?1?11

－＝2n＋?＋－?

2?23n＋2n＋3?1?51?15＋＝2n＋－?<2n＋. ?122?n＋2n＋3?12

n23nn－1

2

2

3n－1

－＝n＋1.

2

1

n＋3n＋1

6