步步高 学案导学设计2014-2015学年高中人教B版数学必修四课时作业：1.1.2

1．1．2 弧度制和弧度制与角度制的换算

课时目标 1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．

1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的

1

为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 360

(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad．

(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．

2．角度制与弧度制的换算

角度化弧度 弧度化角度 360°＝______ rad 2π rad＝________ 180°＝____ rad π rad＝________ 1°＝____rad≈0．017 45 rad 1 rad＝____≈57°18′ 3．扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则

度量单位 α为角度制 α为弧度制 类别 απR扇形的弧长 l＝ l＝αR 180απR211扇形的面积 S＝ S＝αR2＝lR 36022

?

?

?

?

一、选择题

ππ????

1．集合A＝?α|α＝kπ＋2，k∈Z?与集合B＝?α|α＝2kπ±2，k∈Z?的关系是( ) A．A＝B B．A?B

C．B?A D．以上都不对

2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )

2

A．2 B．sin 2 C． D．2sin 1

sin 1

3．扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其中心角的弧度数是( ) A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5

4．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于( ) A．?

B．{α|－4≤α≤π} C．{α|0≤α≤π}

D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}

11

5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )

4

ππ33A． B．－ C．π D．－π

4444

π

6．扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )

3

A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9

二、填空题 7．将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________． 8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．

7π

9．若2π<α<4π，且α的终边与－角的终边垂直，则α＝______．

6

π

10．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝__________．

6

三、解答题

11．把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：

23

(1)－1 500° (2)π (3)－4

6

12．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

能力提升

13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．

14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R． (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；

(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．

2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数

180?π

×＝弧度数，弧度数×??π?＝度数． 180

3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．

1．1．2 弧度制和弧度制与角度制的换算

答案

知识梳理

lπ?180?

1．(3)|α|＝ 2．2π 360° π 180° °

r180?π?

作业设计 1．A

12

2．C [r＝，∴l＝|α|r＝．]

sin 1sin 1

3．A [设扇形半径为r，圆心角为α，

2r＋αr＝6?????r＝1?r＝2

?则?12，解得或?．] ??α＝4α＝1αr＝2????2

4．C [集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．]

3113

－π?，∴θ＝－π．] 5．D [∵－π＝－2π＋??4?44

6．B [设扇形内切圆半径为r，

r

则r＋＝r＋2r＝a．

πsin

6

∴a＝3r，∴S内切＝πr2．

11π1π3

S扇形＝αr2＝××a2＝××9r2＝πr2．

223232∴S内切∶S扇形＝2∶3．]

7

7．－10π＋π

4

解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，

7

∴－1 485°可以表示为－10π＋π．

4

8．25

π6π

解析 216°＝216×＝，

1805

6π

l＝α·r＝r＝30π，∴r＝25．

57109．π或π 33

77147

解析 －π＋π＝π＝π，

6263792010－π＋π＝π＝π． 6263

11π5ππ7π10．－，－，，

3333

π

解析 由题意，角α与终边相同，

3

π7则＋2π＝π， 33π5π11－2π＝－π，－4π＝－π． 3333

5π11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋，

3

5

∴－1 500°与π终边相同，是第四象限角．

3

2311(2)π＝2π＋π， 662311

∴π与π终边相同，是第四象限角． 66

(3)－4＝－2π＋(2π－4)，

∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．

12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S， 则l＋2r＝40，∴l＝40－2r．

11

∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2

22

＝－(r－10)2＋100．

∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，

l40－2×10

此时θ＝＝＝2 rad．

r10

13．42

解析 设圆半径为r，圆心角为θ，则内接正方形的边长为2r， 圆弧长为42r．

42r∴|θ|＝＝42．

r

14．解 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，

π

∵α＝60°＝，R＝10，

310π

∴l＝αR＝ (cm)．

3

110π1

S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin 60°

232

π3

＝50?－? (cm2)．

?32?(2)扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，

c－2R∴α＝，

R11c－2R21

∴S扇＝αR2＝··R＝(c－2R)R

22R2

c2c221＝－R＋cR＝－(R－)＋．

2416

cc2

当且仅当R＝，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是．

416