直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

31．（2016?汕头校级自主招生）△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；

（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG ①依据题意补全图形；

②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．

【分析】（1）欲证明∠FAB=∠FBA，由△ADF≌△BDF推出AF=BF即可解决问题． （2）①根据条件画出图形即可．

②数量关系是：GD+AE=BE．过点D作DH⊥DE交BE于点H，先证明△ADE≌△

第45页（共51页）

BDH，再证明四边形GEHD是平行四边形即可解决问题． 【解答】证明：（1）如图1中，

∵AD⊥BC，∠ABC=45°， ∴∠BAD=45°， ∴AD=BD， ∵DF平分∠ADB， ∴∠1=∠2，

在△ADF和△BDF中，

，

∴△ADF≌△BDF． ∴AF=BF， ∴∠FAB=∠FBA．

（2）补全图形如图2中所示，

数量关系是：GD+AE=BE．

理由：过点D作DH⊥DE交BE于点H ∴∠ADE+∠ADH=90°， ∵AD⊥BC，

∴∠BDH+∠ADH=90°，

第46页（共51页）

∴∠ADE=∠BDH，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，∠AKE=∠BKD， ∴∠DAE=∠DBH， 在△ADE和△BDH中，

，

∴△ADE≌△BDH． ∴DE=DH，AE=BH， ∵DH⊥DE，

∴∠DEH=∠DHE=45°， ∵BE⊥AC，

∴∠DEC=45°，∵点G与点D关于直线AC对称， ∴AC垂直平分GD，

∴GD∥BE，∠GEC=∠DEC=45°， ∴∠GED=∠EDH=90°， ∴GE∥DH，

∴四边形GEHD是平行四边形 ∴GD=EH， ∴GD+AE=BE．

【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练正确全等三角形判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形以及特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．

32．（2016春?东港市期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为点E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF、AF、AD，AD与CF交于点G． （1）求证：△ACD≌△CBF； （2）AD与CF的关系是 AD=CF ；

第47页（共51页）

（3）求证：△ACF是等腰三角形；

（4）△ACF可能是等边三角形吗？ 不可能 （填“可能”或“不可能”）．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠CBA=∠CAB=45°，根据平行线的性质得到∠FBE=∠CAB=45°，根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质定理得到答案；

（3）根据线段垂直平分线的性质得到AD=AF，等量代换即可； （4）根据直角三角形的直角边小于斜边解答． 【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠CBA=∠CAB=45°， ∵BF∥AC，

∴∠FBE=∠CAB=45°， ∴∠CBF=90°，又DE⊥AB， ∴∠FDB=45°， ∴∠DFB=45°，

∴BD=BF，又D为BC中点， ∴CD=BF，

在△ACD和△CBF中，

，

∴△ACD≌△CBF； （2）∵△ACD≌△CBF， ∴AD=CF，

故答案为：AC=BF； （3）连接AF， ∵DF⊥AE，DE=EF，

第48页（共51页）