最新 人教A版数学选修4-4：第一讲-坐标系-章末归纳提升

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平面直角坐标系下图形的变换 ??x′＝λx?λ>0?

平面图形的伸缩变换可由坐标伸缩变换来实现，在使用坐标变换公式?

?y′＝μy?μ>0??

时，一定要分清变换前后的新旧坐标．

??x′＝3x，

在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：?求直线l：y＝6x经过φ

?2y′＝y.?

变换后所得直线l′的方程．

【解】 设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．

x′???x＝，?x′＝3x，3由伸缩变换φ：?得?

?2y′＝y，???y＝2y′，

x′

代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，

3

∴y′＝x′为所求直线l′的方程． 因此变换后直线l′的方程为x－y＝0.

求曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程．

π

求圆心为C(3，)，半径为3的圆的极坐标方程．

6

π

【解】 如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，则|OP|＝ρ，∠POA＝|θ－|，|OA|＝2×3＝6.

6

在Rt△POA中，

|OP|＝|OA|cos∠POA，

π

则ρ＝6cos(θ－)，

6

π

即圆的极坐标方程为 ρ＝6cos(θ－)．

6

π

已知定点A(a,0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝.在OP的延长线上

3

取点Q，使|PQ|＝|PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程．

【解】 设Q，P的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，则θ＝θ1.

a2π

在△POA中，ρ1＝·sin(－θ)，

π3sin3

asin θ|PA|＝.又|OQ|＝|OP|＋|PA|，

πsin3π

∴ρ＝2acos(－θ)．

3

极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系．同一个点可以有极坐标，也可以有直角坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程．为了研究问题的方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程．它们之间的互化关系为：x＝

y

ρcos θ，y＝ρsin θ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)．

x

⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

【解】 以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

(1)由ρ＝4cos θ，

得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x.

即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程， 同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．

?x2＋y2－4x＝0，?

(2)由?22

?x＋y＋4y＝0，?

??x1＝0，解得?

??y1＝0，

??x2＝2，

? ?y＝－2.?2

即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)，

故过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.

转化与化归思想 转化与化归思想，是运用数学知识的迁移解决问题．具体表现为化未知为已知，化抽象为具体，化一般为特殊．如本章中直角坐标与极坐标，直角坐标方程与极坐标方程，都是这种思想的体现．当ρ≥0,0≤θ<2π时，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化就是等价转化．

π

已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsin(θ－)＝6，

3

(1)化C1、C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状； (2)求C1、C2交点间的距离．

【解】 (1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，

∴x2＋y2＝100，所以C1为圆心在(0,0)，半径等于10的圆．

π

由C2：ρsin(θ－)＝6，得

3

13

ρ(sin θ－cos θ)＝6. 22

∴y－3x＝12，即3x－y＋12＝0. 所以C2表示直线．

(2)由于圆心(0,0)到直线3x－y＋12＝0的距离为

12

d＝＝6

?3?＋?－1?

所以直线l被圆截得的弦长

|C1C2|＝2r2－d2＝2102－62＝16.综合检测(一)

第一讲 坐标系

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

??x′＝2x

1．将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换?后得到的曲线方程为( )

?y′＝3y?

A．y＝3sin x B．y＝3sin 2x

11

C．y＝3sinx D．y＝sin 2x

23

x′y′

【解析】 由伸缩变换，得x＝，y＝.

23

y′

代入y＝sin 2x，有＝sin x′，即y′＝3sin x′.

3

∴变换后的曲线方程为y＝3sin x. 【答案】 A

2．有相距1 400 m的A、B两个观察站，在A站听到爆炸声的时间比在B站听到时间早4 s．已知当时声音速度为340 m/s，则爆炸点所在的曲线为( )

A．双曲线 B．直线 C．椭圆 D．抛物线

【解析】 设爆炸点为P，则|PB|－|PA|＝4×340<1 400 m，∴P点在以A、B为焦点的双曲线上．

【答案】 A

3．在极坐标系中，点(ρ，θ)与(－ρ，π－θ)的位置关系为( ) A．关于极轴所在直线对称 B．关于极点对称 C．重合

π

D．关于直线θ＝(ρ∈R)对称

2

π

【解析】 取ρ＝1，θ＝，可知关于极轴所在直线对称．

4

【答案】 A

ππ

4．在极坐标系中，点A(2，)与B(2，－)之间的距离为( )

66

A．1 B．2 C．3 D．4

πππ

【解析】 由A(2，)与B(2，－)，知∠AOB＝，

663

∴△AOB为等边三角形．因此|AB|＝2. 【答案】 B

θ

5．(2013·新乡质检)极坐标方程4ρ·sin2＝5表示的曲线是( )

2

A．圆 B．椭圆

C．双曲线的一支 D．抛物线

1－cos θθ

【解析】 由4ρ·sin2＝4ρ·＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2x2＋y2－2x＝5，化

22

25

简得y2＝5x＋.

4

∴该方程表示抛物线． 【答案】 D

6．直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解析】 由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x＋2y＝1， ∴直线x＋2y＝1，不过第三象限． 【答案】 C

7．点M的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( )

3ππππ

A．(22，，) B．(22，，)

4646ππ3ππ

C．(22，，) D．(22，，)

4343

【解析】 设M的球坐标为(r，φ，θ)，

?3＝rsin φcos θ，?

则?1＝rsin φsin θ，??－2＝rcos φ，

【答案】 A

?φ＝3π，

4解得?πθ＝?6.

r＝22，

π

8．极坐标系中，直线2ρsin(θ＋)＝2＋2，与圆ρ＝2sin θ的位置关系为( )

4

A．相离 B．相切

C．相交 D．以上都有可能

π

【解析】 直线2ρsin(θ＋)＝2＋2与圆ρ＝2sin θ的直角坐标方程分别为x＋y＝2＋1，

4

x2＋(y－1)2＝1，

|1－?2＋1?|

圆心C(0,1)到直线x＋y－(2＋1)＝0的距离为d＝＝1，又r＝1，所以直线

2

与圆相切．

【答案】 B

π

9．若点P的柱坐标为(2，，3)，则P到直线Oy的距离为( )

6

A．1 B．2 C.3 D.6

π

【解析】 由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝(2，，3)，故点P在平面xOy内的射影

6

π

Q到直线Oy的距离为ρcos ＝3，可得P到直线Oy的距离为6.

6

【答案】 D

10．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( )