第9章 微分方程 自测题1答案

第9章 微分方程 一、填空题（每小题4分，共12分）：

xy?2(e?x?1) 答：

自测题1答案

1、一曲线过原点，其上任一点(x,y)处的切线斜率为2x?y，则曲线方程是______ 。 2、

微分方程41\y?lnx的通解是 ______ 。2x

答：3、

y?x74lnx?x?C1x?C212144

微分方程y???y??ex的通解是 ______ 。 答：y?xe?C1e?C2

二、求下列微分方程满足初始条件的特解（每小题6分，共24分） 1、

xx1?y?x?xy??解方程?x?1??yx?1?1(1)(2)

y??解：（1）可化为：

1y?1x(x?1)

2、

1????x(x1?1)dx?????x(x?1)dxy??C???e?dx?e???????? xx2x?C??lnxx?1x?1x?1

由初始条件（2）确定C?1，故得

xx2xy???lnxx?1x?1x?1 y??y?y??ex?求初值问题?x的解。??yx?1?1解：令y?xu，原方程化为

du?e?udx

u积分得：e?lnx?C

yyu?x代入上式得原方程的通解为：ex?lnx?C 以

x由初始条件得：C?e

yx

故初始值问题解为：e?e?lnx 3、

求方程y??x2(x2?1)y?x满足初始条件y2yx?0?1的特解。

yy??解：原方程化为

x2(x2?1)

2y2??x2

x?0dy2x?2y2??xx?1即 dx

22

y?C1?x?(1?x)

以x?0,y?1代入得 C?0

4、

22y?1?x所以，初始值问题的解为

求微分方程(1?x2)y???1?y?2满足条件y?3,y?x?0?1的解。

y??p(x),y???p?,解：令：

dpdx?1?p21?x2

arctanp?arctanx?C1

?C1?4 由y?x?0?1，得

1?xy??1?xy??x?2ln1?x?C2

由yx?0

解为 三、求下列微分方程的通解（每小题6分，共24分） 1、

?3，得C2?3

y?3?x?ln(1?x)2。

解方程(x2?xy)y??y2?0。

?y????x?y2y???yxy?x2?1x解：解一：

令 y?ux

2

duu2?u(u?1)ux??dxu?1u?1

dx?1??1??du??u?x

euy?Cxxu，即e?Cy为所求的通解。

解二：原方程化为 2、

x2y??xyy??y2 y?xy??y?yx2 ddy??lny?????dxdx?x?

y?Ce

yx

解方程1?x2sin2y?y??2xsin2y?e2解：原方程化为

1?x2

2dsin2y2x1?sin2y?e21?xdx1?x21?x2

2x2x????dx?dx??21??221?x1?x21?x2?dx??esiny??C???ee2????1?x????

?C?lnx?1?x2e2

3、

??1?x2

求微分方程y??1的通解。xcosy?sin2y

dx?xcosy?sin2y解：原方程化为：dy

x?e?cosydyC??sin2ye??cosydydy?Cesiny?2(siny?1)

??

4、

求微分方程y??y??ey?1满足条件y(0)?0,y?(0)??3的特解。 解：令 y??p(x),y???pp?得pp??e

2?y

p3??e?y?C13，由条件得C1?0

p??33e

y3?y3

3e??33x?C2，由条件得C2?3

y33 特解为 3e??3x?3。 四、（8分）

求微分方程y??解：

x?y?5的通解。x?y?1

?x?y?5?0?令?x?y?1?0，解得 x0??2,y0?3 作变换 X?x?2,Y?y?3

原方程化为

令Y?uX，方程（1）化为

积分得

dYX?Y?dXX?Y

（1）

du1?2u?u2X?dX1?u

21?2u?uX?C

还原到原来变量得原方程通解

五、（8分）

(x?2)2?2(x?2)(y?3)?(y?3)2?C2

x2y21求曲线族2?2?1所满足的微分方程，并证明当用?代换y?后，方程不变，CC?1y?（即解为自正交曲线） x2y2?2?12CC?1 解：对曲线族两边关于x求导得

xyy???0C2C2?1 （1）

从（1）解得

C2? （2） 把（2）代入曲线族方程并整理得曲线族所满足的微分方程

xx?yy?

(x2?y2?1)y??xyy?2?xy?0 （3）

1?在（3）中，将y?替换y?

?1??1?(x2?y2?1)????xy????xy?0?y???y??

2222即 (x?y?1)y??xy(y?)?xy?0

六、（8分）

[1,x]上所形成的曲边梯形的面积大小为该曲线段终点求一曲线，使其在区间,)。坐标x与y之比的两倍减2，其中x?1,y?0，且曲线过点(11解：

?x1ydx?2x?2y

分离变量，积分得通解为

2??y?2(y?xy?)y??y(1)?1?

lny2?2?lny2?lnCx2?0y2?2?y2?2y(1)?1注意到，故，即 由y(1)?1，得 C?1

所求曲线方程为：七、（8分）

y22?Cx2?y2

y?2x21?x

v0时，推进器停止工作。已知船受水的阻力与速度的平方当轮船前进速度为k），问经过多少时间后，船速减为原来的一半。成正比（比例系数为dvm??kv2解：dt

dvk??v2vt?0?v0m即 dt

1k?t?Cvm得：

1C?v0 由初始条件得：

11k??tm 故 vv0

mv0t?v?kv0 2时，得 当

八、（8分）

有一体积为V0?30?30?12(m3)的车间，空气中含有0.12%的CO2，为了保m/min的鼓风机，证工作人员的身体健康，用一台通风能力为1500通入的新鲜空气中含有0.04%CO2。假定新鲜空气通入后和原有的空气混合均匀后排出，设时刻t，CO2含量为x(t)，试求x(t)满足的微分方程。

x(t)??1500?tV0解：?x?x(t??t)?x(t)?0.04%?1500?t

3dx?x1500?lim?0.04%?1500?x(t)?t?0dt?tV0

x(t)满足的微分方程为 5?dx?0.6?x?36?dt??xt?0?12.96