高考数学-立体几何知识点与例题讲解-题型方法

立体几何知识点例题讲解

一、知识点 <一>常用结论

1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交

点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）

转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化

为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.

7.夹角公式 ：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则cos〈a，b〉=

a1b1?a2b2?a3b3a?a?a212223rrrr8．异面直线所成角：cos??|cosa,b|=|ra?br|?|a|?|b|b?b?b212223.

|x1x2?y1y2?z1z2|212121222x?y?z?x2?y2?z2rroo（其中?（0???90）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b 的方向向量）

????????AB?m???(m为平面?的法向量). 9.直线AB与平面所成角：??arcsin???|AB||m|10、空间四点A、B、C、P共面?OP?xOA?yOB?zOC，且 x + y + z = 1 11.二面角??l??的平面角

?????????m?nm?n??arccos???或??arccos???（m，n为平面?，?|m||n||m||n|的法向量）.

12.三余弦定理：设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设

AO与AB所成的角为?1，AB与AC所成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.

13.空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

????????????|AB|?AB?AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2. dA,B=

????????|CD?n|14.异面直线间的距离： d?? (l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，

|n|C、D分别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离).

????????|AB?n|?15.点B到平面?的距离：d?（n为平面?的法向量，AB是经过面?的|n|一条斜线，A??）.

???2?2?2?2??????16.三个向量和的平方公式：(a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

?2?2?2?????????????a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a 17. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为

l1、l2、l3，夹角分别为?1、?2、?3,则有

2l2?l12?l2?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

S'18. 面积射影定理 S?cos?.(平面多边形及其射影的面积分别是S、S'，

它们所在平面所成锐二面角的?).

19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长

方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体

的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为径为6a. 46a,外接球的半1220. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法） 21. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 〈二〉温馨提示：

1.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你

是否注意到它们各自的取值范围及义？

① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次

.

② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是

．

③ 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是．

〈三〉解题思路：

1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线???线∥面???面∥面?判?定??线⊥线???线⊥面???面⊥面??性?质?线∥线???线⊥面???面∥面

线面平行的判定： a∥b，b?面?，a???a∥面? a b ??

线面平行的性质：

?∥面?，??面?，????b?a∥b 三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则

a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO P ?? O a

线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥? a O α b c

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥? 面?⊥面?，????l，aaa??，⊥l?⊥? α a l β

a⊥面?，b⊥面∥??ab

面?⊥a，面?⊥a??∥? a b ??

2、三类角的定义及求法 （1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

?＝0时，b∥?或b??

o

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

o ②证明其符合定义，并指出所求作的角。

o（3）二面角：二面角??l??的平面角?，01???80

二、题型与方法 【考点透视】

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。

求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】

考点1 点到平面的距离