2016年天津市高考理科数学试题及答案

uruuur?uuuruuurur?n1?AD?0（I）证明：依题意，AD?(2,0,0),AF??1,?1,2?.设n1??x,y,z?为平面ADF的法向量，则?u，ruuur??n1?AF?0

uuurururuuur?2x?0即? .不妨设z?1，可得n1??0,2,1?，又EG??0,1,?2?，可得EG?n1?0，又因为直线?x?y?2z?0EG?平面ADF，所以EG//平面ADF.

uuuruuuruuur（II）解：易证，OA???1,1,0?为平面OEF的一个法向量.依题意，EF??1,1,0?,CF???1,1,2?.设uurn2??x,y,z?为平面CEF的法向量，则uurn2??1,?1,1?.

uuuruuruuuruuruuuruurOA?n263因此有cos?OA,n2??uuu，于是sin?OA,n2??，所以，二面角O?EF?C的正弦值ruur??33OA?n2为uuruuur??n2?EF?0，即ruuur?uu??n2?CF?0?x?y?0 .不妨设x?1，可得???x?y?2z?03. 3uuuruuur2uuur?224?22（III）解：由AH?HF，学.科网得AH?AF.因为AF??1,?1,2?，所以AH?AF??,?,?，

535?555?uuuruuruuuruuruuurBH?n27?334??284?进而有H??,,?，从而BH??,,?，因此cos?BH,n2??uuu.所以，直线BH和ruur??21555555????BH?n2平面CEF所成角的正弦值为7. 21考点：利用空间向量解决立体几何问题 【结束】 (18)

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】

222?anan?1，从而cn?bn试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：bn?1?bn?an?1an?2?anan?1?2dan?1，因

此根据等差数列定义可证：cn?1?cn?2d?an?2?an?1??2d（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利

2用分组求和化简Tn?n???1?k?12nn2bn2???b12?b2????b32?b42????b22n?1?b22n??2d2n?n?1?，再利用裂项相

11n11n?11?1?1?消法求和??????1???，易得结论. 2?2??2?2dk?1k?k?1?2dk?1?kk?1?2d?n?1?k?1Tk222?anan?1，有cn?bn试题解析：（I）证明：由题意得bn?1?bn?an?1an?2?anan?1?2dan?1，因此

cn?1?cn?2d?an?2?an?1??2d2，所以?cn?是等差数列.

2222（II）证明：Tn??b12?b2??b32?b4??b2n?1?b2n

???????2d?a2?a4?L?a2n??2d?nn?a2?a2n??2d2n?n?1?

211n11n?11?1?1?1所以?. ?2??2?????1????2?2T2dkk?12dkk?12dn?12d?????k?1kk?1k?1?考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【结束】 （19）

x2y266??1（Ⅱ）(??,?]?[,??) 【答案】（Ⅰ）4344【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由

113c113c??，得??再利用|OF||OA||FA|caa(a?c)，

a2?c2?b2?3，可解得c2?1，a2?4（Ⅱ）先化简条件：?MOA??MAO?|MA|?|MO|，即M

再OA中垂线上，xM?1，

再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B；利用两直线方程组求H，最后

根据BF?HF，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设F(c,0)，由

113c113c??，即??，可得a2?c2?3c2，又|OF||OA||FA|caa(a?c)2x2y2?1. a?c?b?3，所以c?1，因此a?4，所以椭圆的方程为?432222（2）（Ⅱ）解：设直线l的斜率为k（k?0），则直线l的方程为y?k(x?2).设B(xB,yB)，由方程组

?x2y2?1??2222，消去y，整理得(4k?3)x?16kx?16k?12?0. 3?4?y?k(x?2)?8k2?68k2?6?12kx?解得x?2，或x?，由题意得，从而. y?BB2224k?34k?34k?39?4k212k,).由BF?HF，得由（Ⅰ）知，F(1,0)，设H(0,yH)，有FH?(?1,yH)，BF?(24k?34k2?39?4k29?4k212kyHBF?HF?0，所以?2?0，解得yH?.因此直线MH的方程为212k4k?34k?319?4k2y??x?.

k12k?19?4k220k2?9?y??x?设M(xM,yM)，由方程组?.在?MAO中，k12k消去y，解得xM?212(k?1)?y?k(x?2)?20k2?9?MOA??MAO?|MA|?|MO|，即(xM?2)?y?x?y，化简得xM?1，即?1，解212(k?1)22M2M2M得k??66或k?. 4466]?[,??). 44所以，直线l的斜率的取值范围为(??,?考点：学.科网椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 【结束】

（20）

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：f'(x)?3(x?1)?a，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当a?0时，有f?(x)?0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(??,?).②当a?0时，存在三个单调区间

22（Ⅱ）由题意得(x0?1)?af(x1)?f(x0)，计算可得f(3?2x0)?f(x0)再由及单调性可得结论（Ⅲ）实3|f(3a3a|,|f(?)|33的大小即可，分三种情况研究①

，

②

当

质研究函数g(x)最大值：主要比较f(1),f(?1)，

当

a?3时，

1?3a3a?0?2?1?333?a?34时，

1?23a3a3a23a3a3a3?0?1??1??2?1??1??2. ，③当0?a?时，0?1?333333432试题解析：（Ⅰ）解：由f(x)?(x?1)?ax?b，可得f'(x)?3(x?1)?a. 下面分两种情况讨论：

（1）当a?0时，有f'(x)?3(x?1)?a?0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(??,??). （2）当a?0时，令f'(x)?0，解得x?1?23a3a，或x?1?.

33当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：

x (??,1?＋ 3a3a3a3a3a3a) 1?,1?) 1?,??) (1? (1?3333330 极大值 － 单调递减 0 极小值 ＋ 单调递增 f'(x) f(x) 单调递增 所以f(x)的单调递减区间为(1?3a3a3a3a,1?)，单调递增区间为(??,1?)，(1?,??). 33332（Ⅱ）证明：因为f(x)存在极值点，所以由（Ⅰ）知a?0，且x0?1，由题意，得f'(x0)?3(x0?1)?a?0，即(x0?1)?2a， 3