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第3讲 导数与函数的极值
函数极值的概念
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．在用导数方法求函数极值时，要注意两点：(1)函数的定义域，因为我们对函数的研究是在其定义域内进行的，而函数的导数解析式的自变量的范围有可能比函数的定义域有所扩大；(2)要注意函数取得极值的点左右两边的导数值异号．
1．(选修2－2 P28思考改编)下列哪个函数x＝0不是极值点( ) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x3 C．f(x)＝ex－x D．f(x)＝cos x
3
解析：选B.仅有f(x)＝x的导数f′(x)＝3x2，虽然f′(0)＝0，但无论x＞0还是x＜0，恒有f′(x)＞0，故选B.
14
2．(选修2－2 P28例4改编)f(x)＝x3－4x＋m的极小值为－，则m的值为( )
33
A．4 B．－4 2020C. D．－ 33
解析：选A.f′(x)＝x2－4，当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2. 当f′(x)＜0时，－2＜x＜2. f′(x)＞0时，x＜－2或x＞2.
∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数． f(x)在(－2,2)上是减函数．
1164
∴f(x)极小值＝f(2)＝×23－4×2＋m＝－＋m＝－.
333
∴m＝4，故选A.
3．(选修2－2 P29练习T2(4)改编)函数f(x)＝3x－x3，下列说法错误的是( ) A．图象关于原点对称 B．极大值为2 C．极小值为－2 D．值域为[－2,2]
解析：选D.f(－x)＝－3x＋x3＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数，A正确；f′(x)＝3－3x2. 当f′(x)＝0时，x＝－1或x＝1； 当f′(x)＜0时，x＜－1或x＞1； 当f′(x)＞0时，－1＜x＜1.
∴f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是减函数，在(－1,1)上是增函数． ∴f(x)极小值＝f(－1)＝－2.
f(x)极大值＝f(1)＝2，B、C正确；
值域为(－∞，＋∞)，D错误，故选D. 4．(选修2－2 P29练习T2(3)改编)已知f(x)＝m＋12x－x3有三个零点，则实数m的范围是________．
解析：f′(x)＝－3x2＋12，
当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2； 当f′(x)＜0时，x＜－2或x＞2； 当f′(x)＞0时，－2＜x＜2.
∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数，在(－2,2)上是增函数． ∴f(x)极小值＝f(－2)＝m－16. f(x)极大值＝f(2)＝m＋16. ∵f(x)有三个零点， ?f?x?极大＞0，∴?
f?x?极小＜0，?
??m＋16＞0，即? ?m－16＜0，?
所以－16＜m＜16. 答案：(－16,16)
5．(选修2－2 P18A组T6(1)改编)函数y＝xln x有极________值________． 解析：y′＝ln x＋1(x＞0)，
－
当y′＝0时，x＝e1；
－
当y′＜0时0＜x＜e1；
－
当y′＞0时，x＞e1.
－－
∴y＝xln x在(0，e1)上是减函数，在(e1，＋∞)上是增函数．
1
∴y＝xln x有极小值y|x＝e－1＝－. e
1
答案：小 － e
函数的极值点
ex
已知函数f(x)＝. x
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝xf(x)－ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a的取值范围．
ex
[解] (1)f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
xx
e?x－1?
∴f′(x)＝.
x2当f′(x)＝0时，x＝1.
f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表： x (0,1) (－∞，0) f′(x) － － f(x) ↘ ↘ 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ ↗ 故f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0,1)． (2)g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)， ∴g′(x)＝ex－a，
①当a≤1时，g′(x)＝ex－a>0，
即g(x)在(0，＋∞)上递增，此时g(x)在(0，＋∞)上无极值点． ②当a>1时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a； 令g′(x)＝ex－a>0，得x∈(ln a，＋∞)； 令g′(x)＝ex－a<0，得x∈(0，ln a)．
故g(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增，
∴g(x)在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为x＝ln a. 故实数a的取值范围是a>1.
(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)利用x＝x0是极值点可得f′(x0)＝0，求解相关问题．
已知x＝3是函数f(x)＝aln x＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________.
aa
解析：f′(x)＝＋2x－10，由f′(3)＝＋6－10＝0，得a＝12，经检验满足条件．
x3
答案：12
函数的极值
ax
(2015·高考安徽卷)已知函数f(x)＝(a＞0，r＞0)．
?x＋r?2(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
a
(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．
r
[解] (1)由题意知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．
axax
f(x)＝， 2＝2?x＋r?x＋2rx＋r2a?x2＋2rx＋r2?－ax?2x＋2r?
f′(x)＝
?x2＋2rx＋r2?2a?r－x??x＋r?＝，
?x＋r?4所以当x＜－r或x＞r时， f′(x)＜0；
当－r＜x＜r时，f′(x)＞0.
因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r)． (2)由(1)可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减． 因此，x＝r是f(x)的极大值点，
ara400
所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝100. 2＝＝?2r?4r4
运用导数求可导函数y＝f(x)极值的步骤：
①先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右符号相同，则此根处不是极值点．
a
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
b
2
A．－ B．－2
3
22
C．－2或－ D．2或－
33
2
解析：选A.由题意知，f′(x)＝3x＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，
2
即{3＋2a＋b＝01＋a＋b－a－7a＝10 ，
a2
解得{a＝－2b＝1 或{a＝－6b＝9 ，经检验{a＝－6b＝9 满足题意，故＝－. b3
3
2．函数f(x)＝x－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是__________．
解析：令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±a，则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表： (－∞， (－a， (a， x －a a ＋∞) －a) a) 0 0 f′(x) ＋ － ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 从而{?－a?3－3a?－a?＋b＝6?a?3－3aa＋b＝2 ， 解得{a＝1b＝4 ，
所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)． 答案：(－1,1)
函数极值的应用 已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围； (2)问过点A(－1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)
[解] (1)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
3
则y0＝2x0－3x0，且切线斜率为k＝6x20－3，
2
所以切线方程为y－y0＝(6x0－3)(x－x0)， 因此t－y0＝(6x20－3)(1－x0)，
2
整理得4x30－6x0＋t＋3＝0. 设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同的零点”．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：
x 0 (0,1) 1 (－∞，0) (1，＋∞) 0 0 g′(x) ＋ － ＋ g(x) ↗ t＋3 ↘ t＋1 ↗ 所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．
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