《金属塑性成形原理及工艺》课程讲义

这是一个椭球面方程，它的主半轴的长度分别等于ζ1、ζ2、ζ3。这个椭球面被称为应力椭球面，对于一个确定的应力状态，任意斜面上的全应力矢量S的端点必然在椭球面上。

在应力分析中，经常根据三个主应力的特点来划分应力状态类型。

在三个主应力中，如果有两个主应力为零，这种应力状态叫做单向应力状态。例如杆件的单向拉伸和单向压缩的应力状态。

如果只有一个主应力为零，则是两向应力状态（和平面应力状态），此时应力椭球面变为在某个平面上的椭圆轨迹。如果有两个主应力相等，例如ζ2＝ζ3，应力椭球面就变成了一个旋转椭球面，该点的应力状态对称于主轴，这种应力状态称为圆柱体应力状态。

如果三个主应力都相等，则应力椭球面就变成了一个球面，这种应力状态称为球应力状态，此时，所有方向都是主方向。 七、例题4－1

已知点的应力状态如图4－5所示，请求出主应力和主方向（应力单位：Mpa）

图4－5

解：

（1）图4－5所示的应力张量为：

（2）首先求得应力张量的不变量

J1＝ζx＋ζy＋ζz＝4＋6＋5＝15；

J2＝－[ζxζy＋ζyζz＋ζzζx－（ηxy2＋ηyz2＋ηzx2）]

＝－[4×6＋6×5＋5×4－（22＋12＋32）]＝－60

J3＝ζxζyζz＋2ηxyηyzηzx－（ζxηyz2＋ζyηzx2＋ζzη （3）将不变量代入应力状态特征方程，得： ζ3－15ζ2＋60ζ－54＝0

并分解因式： （ζ－9）（ζ2－6ζ＋6）＝0 （4）求得三个主应力： ζ1＝9； ζ2＝3＋ ；ζ3＝3－

（5）将应力分量代入主应力求解方程，得到如下的方程组： （4－ζ）l＋2m＋3n＝0 2l＋（6－ζ）m＋n＝0 3l＋m＋（5－ζ）n＝0

9

2

xy）＝（代入数值）＝54

l2＋m2＋n2＝1

（6）首先将ζ1代入上式，求得一组主方向：± l1＝m1＝n1＝1/＝0.577

（7）将ζ2代入上式，求得第二组主方向：

（8）将ζ3代入上式，求得第三组主方向：

l3＝0.789； m3＝－0.211 n3＝0.577 八、主切应力和最大切应力

1．主切应力

通过变形体中一点的任意斜面，当斜面上的切应力为极大值时，该切应力称为主切应力。 2．主切应力平面

主切应力作用的平面称为主切应力平面。

主切应力平面总共有12个，它们分别与一个主平面垂直，与另外两个主平面成45角，如图4－6所示；

图4－6

（4-14） 3．主切应力值 4．最大切应力

三个主切应力中绝对值最大的一个叫做最大切应力，用η

max表示。如设ζ1>ζ2>ζ3，则最大切应力为：

（4-15）

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5．主切应力平面上的正应力 九、应力球张量和应力偏张量

（4-16）

1.任意坐标系下的应力张量的分解

按照应力的叠加原理，表示受力物体内任意一点应力状态的应力张量可以分解为应力球张量和应力偏张量两部分。 现在假设ζm为三个正应力分量的平均值，即：

（4－17）

ζm称为平均应力，从上面的式子可以看出，它是一个不变量，与所取的坐标系无关，对于一个确定的应力状态，它是一个单值。

因此，三个正应力分量可以写成如下形式：

ζx＝（ζx－ζm）＋ζm＝ζx’＋ζm ζy＝（ζy－ζm）＋ζm＝ζy’＋ζm ζz＝（ζz－ζm）＋ζm＝ζz’＋ζm

将上面的式子代入应力张量表达式中，得到：

（4-18）

或者简记为：

ζij＝ζij’＋δijζm （4-18a）

式中δij是克氏符号，当i＝j时，δij＝1；当i≠j时，δij＝0。使用克氏符号可以将角标不同的元素去掉。 2．主坐标系下的应力张量的分解

在主轴坐标下，应力偏张量和应力球张量分别为：

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3．应力张量的图形分解法

下图4－8是用图形表示的应力张量的分解，其中，图a是在任意坐标系下的分解，图b是在主坐标系下的分解。

图4－8

（4－18b）

4．应力球张量

等式（4－18）右边的一项表示球应力状态，称作应力球张量。它的任何方向都是主方向，而且主应力相同，均为平

均应力ζm，因此，也是静水应力状态。由于球应力状态在任何斜面上都没有切应力，所以它只是使物体产生体积变化，而不能使物体产生形状变形，即静水应力不能使物体产生塑性变形。 5．应力偏张量

等式（4－18）右边的前一项表示的就是应力偏张量。应力偏张量ζij’的切应力分量、主切应力、最大切应力以及应力主轴等等都与原来的应力张量相同。因而应力偏张量使物体产生形状变形，而不能使物体产生体积变形，即材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。

应力张量的分解正好从数量上把引起物体弹性变化和引起形状变化（即塑性变形）的两种张量分解开来。 十、应力偏张量不变量

应力偏张量是由原来的应力张量减去球张量后得到的，它仍然是一个张量，而且是二阶张量。因此，应力偏张量同样有三个不变量，分别用J1’、J2’、J3’表示，其表达式分别为： (4-19)

对于主轴坐标系有：

12 （4-19a）