天津市南开区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析

∴f?x?在??1?,???内是增函数，在(1,??)内是减函数. ?4?综上，x?1是函数f?x?的极大值点. （2）由题意，得f?1??0，即a?1.

现证明当a?1时，不等式f?x??0成立，即xlnx?2x2?3x?1?0. 即证lnx?2x?3?1?0 x1 x令g?x??lnx?2x?3?11?2x2?x?1??2x?1??x?1? 则g'?x???2?2??22xxxx1)时，g'?x??0;当x?(1,??)时，g'?x??0. ∴当x?(0，∴g?x?在?0,1?内单调递增，在(1,??)内单调递减，

g?x?的最大值为g?1??0.

∴当x?0时，lnx?2x?3?1?0. x即当x?0时，不等式f?x??0成立. 综上，整数a的最小值为1. 【点睛】

本题考查学生利用导数处理函数的极值，最值，判断函数的单调性，由此来求解函数中的参数的取值范围，对学生要求较高，然后需要学生能构造新函数处理恒成立问题，为难题

，c，d都是正数，且x?a2?b2，y?c2?d2．求证：xy?18．设a，b【答案】证明见解析 【解析】 【分析】

利用比较法进行证明：把代数式a?b?ac?bd??ad?bc?．

?22??c2?d2?,?ac?bd?展开、作差、化简可得,

2?ad?bc?2?0,

可证得a2?b2?c2?d2?ac?bd?0成立,同理可证明a2?b2?c2?d2?ad?bc?0,由此不等式得证. 【详解】 证明:因为a?b?22??c2?d2??a2c2?a2d2?c2b2?b2d2,

?ac?bd?2?a2c2?2abcd?b2d2，

2所以a?b?2??c2?d2???ac?bd??a2d2?2abcd?c2b2

22??ad?bc??0，

∴ a?b2?22??c?d2???ac?bd?成立，又a、c、b、d都是正数，

2∴a2?b2?c2?d2?ac?bd?0，① 同理a2?b2?c2?d2?ad?bc?0， ∴xy??ac?bd??ad?bc?．

【点睛】

本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的关键;属于中档题。

19．已知函数y?f?x?.若在定义域内存在x0，使得f??x0???f?x0?成立，则称x0为函数y?f?x?的局部对称点.

（1）若a，b?R且a≠0，证明：函数f?x??ax2?bx?a有局部对称点；

（2）若函数g?x??2?c在定义域?1,1内有局部对称点，求实数c的取值范围；

x??（3）若函数h?x??4?m?2xx?1?m2?3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）?【解析】 【分析】

5?c??1（3）1?3≤m≤22 422（1）若函数f?x??ax2?bx?a有局部对称点,则f??x??f?x??0,即ax?bx?a?ax?bx?a?0有

????解,即可求证；

（2）由题可得g??x??g?x??0在?1,1内有解,即方程2x?2?x?2c?0在区间??1,1?上有解,则?2c?2x?2?x,设t?2(?1?x?1),利用导函数求得2x?2?x的范围,即可求得c的范围；

x??（3）由题可得h??x??h?x??0在R上有解,即4上有解,设2?2可. 【详解】

x?x?x?m?2?x?1?m2?3??4x?m?2x?1?m2?3??0在R?t(t?2),则可变形为方程t2?2mt?2m2?8?0在区间?2,???内有解,进而求解即

（1）证明:由f?x??ax2?bx?a得f??x??ax2?bx?a,

22代入f??x??f?x??0得ax?bx?a?ax?bx?a?0,

????则得到关于x的方程ax?a?0(a?0),由于a?R且a?0,所以x??1, 所以函数f?x??ax?bx?a(a?0)必有局部对称点

22（2）解:由题,因为函数g?x??2?c在定义域?1,1内有局部对称点

x??所以g??x??g?x??0在?1,1内有解,即方程2x?2?x?2c?0在区间??1,1?上有解, 所以?2c?2x?2?x, 设t?2(?1?x?1),则令s(t)?t?,x??1?t?2,所以?2c?t?1

t2111(t?1)(t?1)?t?2,则s?(t)?1?2?, 2t2tt?1??1?当t??,1?时,s?(t)?0,故函数s(t)在区间?,1?上单调递减,当t??1,2?时,s??t??0,

?2??2?故函数s(t)在区间1,2上单调递增, 所以s?t?min?s?1??2, 因为s?所以?()5515?1?5?S2?st?2?t??, ,,,所以所以?????max2222t2??5?c??1 4?x（3）解:由题,h(?x)?4?m?2?x?1?m2?3,

?x由于h(?x)?h(x)?0,所以4所以4?4令2?2x?x?m?2?x?1?m2?3??4x?m?2x?1?m2?3??0,

?x?x??2m?2x?2?x??2?m2?3??0（*）在R上有解,

?t(t?2),则4x?4?x?t2?2,

所以方程（*）变为t2?2mt?2m2?8?0在区间?2,???内有解, 需满足条件：

???4m2?8m2?4?0?????22?m?222,, 即?2m?48?m????1?3?m?22?2?2?????得1?3≤m≤22 【点睛】

本题考查函数的局部对称点的理解,利用导函数研究函数的最值问题,考查转化思想与运算能力.

x2y220．如图，椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，且

abB1(0,1)，VA1B1B2为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C在y轴右侧的部分交于M、N两点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求四边形B2MNB1面积的取值范围．

?36?x22,1?【答案】（1）（2）??y?1；?. ?233??【解析】 【分析】

（1）根据B1坐标和?A1B1B2为等边三角形可得a,b，进而得到椭圆方程；

（2）①当直线MN斜率不存在时，易求M,N坐标，从而得到所求面积；②当直线MN的斜率存在时，设方程为y?k?x?1?，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定k的取值范围；利用

S?S△NOB1?S△OMN?S△MOB2，代入韦达定理的结论可求得S关于k的表达式，采用换元法将问题转化为

S?m?3，m?4?23m?2?3,23的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情

?况的结论可得最终结果. 【详解】

（1）QB1?0,1?，?b?1，

x2Q?A1B1B2为等边三角形，?a?3b?3，?椭圆的标准方程为?y2?1．

3（2）设四边形B2MNB1的面积为S．

??6?6?①当直线MN的斜率不存在时，可得M??1,3??， ?1,?3??，N?????1?26?6?S???2??1?1?． ??2?33??②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y?k?x?1?，