2018高考一轮复习 立体几何

在直角三角形BOE中，BO=R，EO=6﹣R，BE=2由BO2=BE2+EO2，得R=4

∴外接球的半径为4，表面积为：64π 故选：D．

，

【点评】本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力；利用直角三角形BOE是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提． 12．（2016?北海一模）已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为（ ） A．

B．

C．32π D．64π

【分析】求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．

【解答】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，△PAD为正三角形，AD=2，则圆O1的半径r=因为平面PAD⊥底面ABCD，AB=4， 所以OO1=AB=2， 所以球O的半径R=所以球O的表面积=4πR2=

=．

，

，

故选：B．

【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，比较基础． 13．（2015?沈阳校级模拟）若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为（ ）

A．π B．2π C．3π D．4π

【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意⊙O1的半径为r=1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．

【解答】解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2， 且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形， 由题意⊙O1的半径为r=1， ∴△ABC的边长为2，

∴圆锥的底面半径为，高为3，

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∴V=．

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，其中根据已知分析出圆锥的底面半径和高，是解答的关键．

14．正四面体的内切球与外接球的半径的比等于（ ） A．1：3 B．1：2 C．2：3 D．3：5

【分析】画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的比值即可．

【解答】解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．

设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高． 设正四面体PABC底面面积为S．

将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，

可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面． 每个正三棱锥体积V1=?S?r 而正四面体PABC体积V2=?S?（R+r） 根据前面的分析，4?V1=V2， 所以，4??S?r=?S?（R+r）， 所以，R=3r 故选：A．

【点评】本题是中档题，考查正四面体的内切球与外接球的关系，找出两个球的球心重合，半径的关系是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力． 15．（2014?道里区校级三模）已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为3的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为（ ）

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A．6π B．54π C．12π D．48π

【分析】由正四面体的俯视图是边长为2的正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为2的正方体中，求出正四面体的边长，可得正四面体的内切球的半径，即可求出正四面体的内切球的表面积．

【解答】解：∵正四面体的俯视图是如图所示的边长为3正方形ABCD， ∴此四面体一定可以放在正方体中， ∴我们可以在正方体中寻找此四面体． 如图所示，四面体ABCD满足题意，

由题意可知，正方体的棱长为3，∴正四面体的边长为6， ∴正四面体的高为2 ∴正四面体的内切球的半径为

，

∴正四面体的内切球的表面积为4πR2=6π 故选：A．

【点评】本题的考点是由三视图求几何体的表面积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的表面积公式分别求解，考查了空间想象能力． 16．（2014?大庆二模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．

【解答】解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形， 可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为锥，如图．

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，底面是一个等腰直角三角形的三棱

则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心， 这个几何体的外接球的半径R=PD=

．

）2=

则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（故选：A．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征是解答本题的关键． 17．（2015?新课标II）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ） A．36π B．64π C．144π D．256π

【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．

【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB=则球O的表面积为4πR2=144π， 故选C．

=

=36，故R=6，

【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键． 18．（2015秋?晋中期末）表面积为40π的球面上有四点S、A、B、C且△SAB是等边三角形，球心O到平面SAB的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为（ ）

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