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3．2.1 直线的点斜式方程
理解教材新知
入门答辩
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．
问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？
问题2：若某条斜拉索过点B(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P(x，y)满足什么条件？
问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？
新知自解
1．直线的点斜式方程
(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程________叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．
(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或________．
2.直线的斜截式方程
(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程________叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．
(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的________．倾斜角是________的直线没有斜截式方程．
归纳升华领悟
1．直线的点斜式方程的前提条件是 (1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；
(2)斜率必须存在，只有这两个条件都具备才可以写出点斜式方程．
2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0，y＝b时，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．
把握热点考向
考点一 直线的点斜式方程
[例1] 已知直线l过点A(2，－3)．
(1)若l与过点(－4，4)和(－3，2)的直线l′平行，求其方程； (2)若l与过点(－4，4)和(－3，2)的直线l′垂直，求其方程．
[思路点拨] 首先由斜率公式求出直线l′的斜率，再由直线平行与垂直的条件求出直线l的斜率，最后由点斜式写出直线方程．
2－4
[精解详析] (1)由斜率公式得kl′＝＝－2，
－3－（－4）
∵l与l′平行， ∴kl＝－2.
由直线的点斜式方程知y＋3＝－2(x－2)， (2)∵直线l′的斜率为k＝－2，l与其垂直，
1∴kl＝. 2
1
由直线的点斜式方程知l：y＋3＝(x－2)．
2
[一点通] 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.
题组集训
1．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是( ) A．2 B．－1 C．3 D．－3
2．写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(2，5)，斜率是4；
(2)经过点B(2，3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．
考点二 直线的斜截式方程
[例2] 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．
[思路点拨] 由直线l1的方程确定l的斜率，由l2的方程确定l在y轴上的截距． [精解详析] 由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2， 又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2. 由题意知l2在y轴上的截距为－2， ∴l在y轴上的截距b＝－2，
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. [一点通]
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．
(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．
题组集训
3．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则直线l的斜截式方程为________．
4．直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，若直线l在y轴上的截距为6，则a＝________． 5．写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是2，在y轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是6； (3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.
考点三 直线点斜式方程的应用
[例3] (12分)直线l过定点A(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
[思路点拨] 本题可设出直线l的斜率为k，得出其点斜式方程．分别令x＝0，y＝0求出直线在x轴、y轴的截距，利用其面积为4进行求解．
[精解详析] 由题意直线l的斜率一定存在，故设直线l的斜率为k，且k≠0.(1分) ∴直线l的方程为：y－3＝k(x＋2)，(2分) 令x＝0，得y＝2k＋3，
3
令y＝0，得x＝－－2.(5分)
k13
由题意知：|(2k＋3)||(－－2)|＝4，(6分)
2k
999
∴8＝|12＋4k＋|即8＝12＋4k＋或－8＝12＋4k＋. kkk9
解8＝12＋4k＋即4k2＋4k＋9＝0得，方程无解．(8分)
k
919
解－8＝12＋4k＋即4k2＋20k＋9＝0得k＝－或－.(10分)
k22
19
故所求直线的方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝－(x＋2)．(12分)
22
[一点通] 过点(x1，y1)的直线，
(1)当斜率不存在时，方程为x＝x1，在x轴上截距为x1； (2)当斜率为0时，方程为y＝y1，在y轴上的截距为y1；
y1(3)当斜率k存在且k≠0时，方程为y－y1＝k(x－x1)，在x轴上的截距为x1－，在y
k
轴上的截距为y1－kx1.
题组集训
31
6．(1)过点(1，2)且与y＝－x－平行的直线方程为________________．
44
(2)过点(2，1)且与y＝－2x＋10垂直的直线方程为____________________．
7．光线自点M(2，3)射到y轴的点N(0，1)后被y轴反射，其反射光线过点(2，－1)，求反射光线所在的方程．
方法规律小结
(1)利用点斜式求直线方程的步骤是：①判断斜率k是否存在，并求出存在时的斜率；②在直线上找一点，并求出其坐标；③代入点斜式方程．
(2)当直线过点(0，b)时，方程为y＝kx＋b，即为直线的斜截式方程，是直线点斜式方程的一种特殊情况．
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