平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解（第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理）

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平新乔《微观经济学十八讲》第16讲 一般均衡与福利经济学的两个基本定理

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1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下

u1?x1,x2???x1x2? e1??18,4?

2u2?x1,x2??ln?x1??2ln?x2? e2??3,6?

（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）； （2）发现瓦尔拉斯均衡。

121解：（1）由消费者1的效用函数u1?x1,x2???x1x2?，可得MU1，MU2?2x1x2?2x12x2，

212MU12x1x2x1故消费者1的边际替代率为MRS?。 ?2?211MU22x1x2x11122x2同理可得消费者2的边际替代率为MRS?2。

2x1212在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：

12 MRS12?MRS12从而有：

2x1x22?2 ① 1x12x1221又因为x2?10?x12，x1?21?x1，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的

特征函数：

x110?x122? ② 11x142?2x1（2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。此外在均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：

x1p14?x112?MRS12??12 ③ 1p2x1?18x11?58/4，x1联立②、③两式，解得：x12?58/11。

12?26/4，x2?10?x1进而有x12?21?x12?52/11。

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图16-1 均衡时边际替代率等于预算线的斜率

2．证明：一个有n种商品的经济，如果（n?1）个商品市场上已经实现了均衡，则第n个市场必定出清。

证明：假设第k种商品的价格为pk，k??1,2,,n?。系统内存在I（I为正整数）个消

i费者，第i个消费者拥有第k种物品的初始禀赋为ek，而第i个消费者对第k种商品的消费

量为xik，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：

ii?pk?xk??ek?0

i?Ii?Ink?1??当前n?1个商品市场已经实现均衡，即前n?1个商品市场的超额需求为零，这时有：

n?1k?1iiii?pk?xk??ek?pn?xk??ek?0i?Ii?Ii?Ii?Iikik???p??x??e??0ni?Ii?Ii?Iii?xk??eki?I?

由此就可以得出第n个市场的超额需求也为零，即第n个商品市场也实现了均衡。

3．有一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下

u1?x1,x2??min?x1,x2? e1??30,0? v2?p,y??y2p1p2 e2??0,20?

注意：第2个消费者的效用函数在这里是间接效用函数。 （1）发现瓦尔拉斯一般均衡。

（2）如果禀赋状态为e1??5,0?，e2??0,2?，重新计算一般均衡。

解：（1）由消费者1的效用函数的形式可以得到相应的马歇尔需求函数为：

30p1m1x1?x1? 2?p1?p2p1?p2985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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对消费者2，根据罗伊恒等式xi?p,m???xi2??v?pi，可以得到他的马歇尔需求函数为： ?v?mi?1,2

m10p2?2pipi均衡时，每种商品市场都会出清，这就意味着： 30p120p2??20?0 p1?p22p2解得

p11122?x1?，从而有：x12?10；x1?20；x2?10。

p22（2）若禀赋状态为e1??5,0?，e2??0,2?。此时消费者1的马歇尔需求函数为：

1x1?x12?5p1m ?p1?p2p1?p2消费者2的马歇尔需求函数为：xi2?即：

pm每种商品市场出清，?2，i?1,2。由均衡时，

2pipi5p1pp1122?2?2?0，解得1?，进而可得x1?x12?1；x1?4，x2?1。 p1?p2p2p24

4．假定在一个经济中只有三种商品（x1，x2，x3），对于x2与x3的超额需求函数为

ED2??3p2/p1?2p3/p1?1 ED3?4p2/p1?2p3/p1?2 （1）请证明这些函数关于p1、p2与p3是零次齐次的。

（2）运用瓦尔拉斯法则表示，如果ED2?ED3?0，ED1也一定为零。能否同样用瓦尔拉斯法则去计算ED1？

（3）请解有关均衡相对价格p2/p1与p3/p1的方程组，p3/p2的均衡值是多少？

解：（1）对任意的t?0，有：

tpptppED2?tp???32?23?1??32?23?1?ED2?p?tp1tp1p1p1

tp3p3tp2p2ED3?tp??4?2?2?4?2?2?ED3?p?tp1tp1p1p1所以ED2和ED3关于p1、p2与p3是零次齐次的。

（2）根据瓦尔拉斯法则可知，均衡时每种商品的超额需求的价值之和为零，即：

ED1?ED2?ED3?0 ①

如果ED2?ED3?0由①可知ED1?0，把ED2和ED3的表达式代入①式中，可以解得：

ED1?3ppp2pp?23?1?42?23?2??2?3 p1p1p1p1p1p3?p2?3p?2p??1?11 ?pp?42?23?2?p1?p1（3）当市场达到均衡时，必有ED2?ED3?0，即：

解得：

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?p2?p?3?1 ?p?3?5??p1于是

p3p3p15??。 p2p2p13

5．考虑一种两人、两物品的纯粹交易经济。消费者的效用函数与禀赋如下

u1?x1,x2??x1x2?12x1?3x2 e1??8,30? u2?x1,x2??x1x2?8x1?9x2 e2??10,10?

求：

（1）对两种物品的超额需求函数。 （2）为该经济决定均衡价格比率。 解：（1）由题设所给的效用函数可以得出每个消费者的马歇尔需求函数为：

p511p11x1p,p???9 ?p1,p2???21?2 x1??2122p12p2x12?p1,p2??p119p2?9?2 x2?p1,p2???1?1 2p12p2所以两种商品的超额需求函数为：

1ED1?x1?x12?8?10?p1pp5?212??92?18?302?152p12p1p1p111p119p12ED2?x1?x?10?30???9???1?40?15?30222p22p2p2

（2）当经济达到均衡时，每个市场的超额需求为零，即： pp302?15?151?30?0

p1p2解得：

p1?2。 p2

6．判断下列命题，并给出理由：

（1）如果知道了契约线，则我们就知道了任何交易的结果。

（2）如果已达到了帕累托有效，则就无法使任何人的状况再得以改善。 答：（1）错误。理由如下：

契约线是埃奇沃斯方框图中所有帕累托有效的分配点的集合，但是对于一个具体的交易而言，其最终结果还依赖于每个消费者的初始禀赋，如图16-2所示，其中A和B是初始禀赋点，可见不同的初始禀赋导致不同的均衡结果。

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