高考数学极限与数学归纳法怎么考（高考二轮复习专题）

高考数学极限与数学归纳法怎么考

主干知识整合：

要求了解数列极限和函数极限的概念。掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限。理解数学归纳法的原理，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 经典真题感悟

a?S1limn2n1．在等差数列{an}中，a1＝25，第10项开始比1大，记t＝n??n，则t

的取值范围是 A．

t?475

834343?t??t??t?25 C．7550 D．7550 B．751 D

11111111\????L?????L?(n?N*)\2342n?12nn?1n?22n2 用数学归纳法证的过程

11?中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为_____ 2 . 2k?12k?2

__________

?21?32n?ax??lim(a?a?????a)?3x??xn??a?023．设常数，展开式中的系数为，_____

4 1

lim3n3n?1??a?1?n4.已知

n???13，则a 的取值范围是. ??4?a?2

5 已知函数

?3x?k?x?0?f(x)??xlimf(x)?e?x?0?，若x?0存在，则k的值为______1___，

6.有以下四个命题：（1）2n＞2n+1(n≥3) (2)2+4+6+…+2n=n2+n+2(n≥1) (3)凸n边形内角和为f(n)=(n－1)π(n≥3) (4)凸n边形对角线条数

n(n?2)f(n)=2 (n≥4)．其中满足“假设n=k(k∈N,k≥n0).时命题成立，则当

n=k+1时命题也成立.”但不满足“当n=n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是 10.(2)（3）

考点热点探究 例1.1 ( 1） (2)

limx??lim（

(x?a)(x?b)－x）；

x2?a2?ax?0x2?b2?b．（a＞0）

1n2+1－n2－1)

等于( )

2．(2006陕西) nlim→∞2n(

11

A． 1 B． C． D． 0

24

bn2?can?can2?climlimlim22cn?bn??n??nbn?c3． 已知a、b、c是实常数，且=2, =3,则??cn?a的值

是

1A．2 B．3 C．2 D．6

1?3?L?(2n?1)?2n??2n?n?14．（2006重庆） 。

lim5． 将无限循环小数0.12化为分数是_________

??6．

464646(?)?(2?2)?...?(n?n)5757lim57n??545454(?)?(2?2)?...?(n?n)656565=_____

?1a??2nan?1??1?a?1n??44例2设数列{an}的首项a1=a≠，且

n为偶数n为奇数,

记

bn?a2n?1?14，n＝＝l，2，3，…·．

（I）求a2，a3；

（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； （III）求n??lim(b1?b2?b3?L?bn)．

分析：观察、归纳、猜想、证明是数列问题常见的思考方法.

11111解：（I）a2＝a1+4=a+4，a3=2a2=2a+8； 113131（II）∵ a4=a3+4=2a+8, 所以a5=2a4=4a+16,

11111111所以b1=a1－4=a－4, b2=a3－4=2(a－4), b3=a5－4=4(a－4), 1猜想：{bn}是公比为2的等比数列·

证明如下：

111111 因为bn+1＝a2n+1－4=2a2n－4=2(a2n－1－4)=2bn, (n∈N*) 11 所以{bn}是首项为a－4, 公比为2的等比数列·

lim(b1?b2?L?bn)?limn??n??b1(1? （III）

1)n2?b1?2(a?1)1141?1?22.

误点警示:掌握无穷等比数列求和公式. 例3.数列?an?中, 前n项和(Ⅰ)求

a1,a2Sn?an1??1an?0,n?N*2an且.

的值,并猜想an的表达式.

(Ⅱ)证明猜想的正确性 解：

?1?n?1时a1?s1?a11??12a1

?a12?2a1?2?0,又a1?0,则a1?3?1 同理得，a2?5?3

猜想an?2n?1?2n?1 （2）证明：n=1时，a1?3?1

假设n=k 时，猜想正确，即ak?2k?1?2k?1 又

ak?1?sk?1?sk?ak?1a11??k?2ak?12ak

?ak?1?2k?3?2k?1?2?k?1??1?2?k?1??1 即n=k+1时也成立

?对n?N*都有an?2n?1?2n?1

专题能力训练

?x11n????qlim???2n???1?q??qxn?1. 已知等比数列的公比为，则有，则首项x1的取值范围是

（ ） A C

?1??1??0,???,1??2??2? B ?0,3????3? ?1??0,???3??2? D

?1??1??0,???,1???3??2??2?