多元函数的极限讨论.

limf(x0?tcos?,y0?tcos?,tcos?)?A，则

t?0f(x,y,z)?A。 （1）A为与?,?,?取值无关的常数时，xlim?xy?y0z?z00f(x,y,z)不存在。 （2）A与?,?,?取值有关时，xlim?xy?y0z?z00如果z?0，则得到：

cos?,sin?是4.3推论2 设f(x,y)在点(x0,y0)的某去心领域内有定义，

向量(x?x0,y?y0)的方向余弦（此时sin??sin?），若一元函数极限

limf(x0?tcos?,y0?tcos?,tcos?)?A，则

t?0f(x,y)?A. （1）A与?取值无关的常数时，xlim?xy?y00f(x,y)不存在。 (2)A与?取值有关时，xlim?xy?y00如果在推论2中x0?y0?0时，则得到：

cos?,sin?是4.4推论3 设f(x,y)在点(0,0)的某个去中领域内有定义，

向量(x,y)的方向余弦(sin??cos?)，若一元函数极限

limf(tcos?,tsin?)?A，则

t?0f(x,y)?A。 （1）A与?取值无关的常数时，xlim?xy?y00f(x,y)不存在。 （2）A与?取值有关时，xlim?xy?y004.5 例题分析

(x?3)2(y?2)2例1： 求lim。 x?3(x?3)2?(y?2)2y?2解：这里x0?3,y0?2,因

(3?tcos??3)2(2?tsin??2)2t4cos2?sin2?limf(3?tcos?,2?tsin?)?lim?limt?0t?0(3?tcos??3)2?(2?tsin??2)2t?0t2?lim(tcos?sina)?0t?0(x?3)2(y?2)2?2. ，故由推论2（1）知limx?3(x?3)2?(y?2)2y?2例2： 求lim(x?2)(y?1)。

x?2(x?2)2?(y?1)2y?1(2?tcos??2)(1?tsin??1)(2?tcos??2)2?(1?tsin??1)2limf(2?tcos?,1?tsin?)?lim解：因

t?0t?0?limt?0tcos?sin??1?cos?sin?t22，而

cos?sin?随?变化而变化，故由推论2（2）lim(x?2)(y?1)不存在。

x?2(x?2)2?(y?1)2y?1x4?y2例3： 求lim。 x?0x4?y2y?0解：

(tcos?)4?(tsin?)2limf(tcos?,tsin?)?limt?0t?0(tcos?)4?(tsin?)2?limt?0tcos??sin??1.??0,?,2?时??t2cos4??sin2???1.??0,?,2?时242，故由推论3（2）知

x4?y2lim4不存在。 x?0x?y2y?0(x2?y2)xy。 例4： 求limx?0y?022f(tcos?,tsin?)?limf[(tcos?)?(tsin?)]解：因limt?0t?022(tcos?sin?)2?1，故由推论

(x?y)3（1）知limx?02y?02x2y2?1。

(x?1)2(y?2)2(z?3)2例5： 求lim。

x?1(x?1)4?(y?2)4?(z?3)4y?2z?3解：因

(tcos?)2(tcos?)2(tcos?)2limf(1?tcos?,2?tcos?,3?tcos?)?lim(t?0t?0(tcos?)4?(tcos?)4?tcos?)4?limt?0t(cos?coa?cos?)?0444(cos?)?(cos?)?(cos?)22，

(x?1)2(y?2)2(z?3)2故有定理（1）知lim?0。

x?1(x?1)4?(y?2)4?(z?3)4y?2z?3总结

本文主要是从一元函数的基本极限理论入手，简单介绍之后再在此基础上类比归纳出二元函数极限的基础理论以及证明，然后介绍了求解一个函数的极限的集中基本的方法，最后从二元函数的极限推广到三元函数的极限问题，并进行了相应的分析和研究，在此基础上能够对多元函数的极限问题有一个更深层次的理解和认识。 参考文献

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