多元函数的极限讨论.

要求B?0。

f(x)?0，g(x)在某区间(x0??,x0)?(x0,x0??)2.3.11 运算法则2：若xlim?x0f(x)g(x)?0。 有界，那么xlim?x0sinmx(m?0,x?0). sinnxsinmxmsinmxmx, 解 由于?sinnxnsinnxnxsinmxsinmxmm所以 lim?limmx?。 x?0sinnxnx?0sinnxnnx2.4例 求limx?03、二元函数的极限问题 3.1 二元函数的定义

设E是平面点集，R是实数集，f是一个规律，如果对E中的每一点(x,y),通过规律f，在R中存在唯一一个实数u和此(x,y)相对应，我们就称f是定义在E上的一个二元函数，x和y是函数f的两个相互独立的自变量，f在(x,y)的函数值是u，并记此值为f(x,y)，即

u?f(x,y)。与一元函数相仿的，我们常常采用下面的记号来记这个函

f:E?R,数：并称E是f的定义域。在通常的数学分析中为了

(x,y)?u?(x,y),省略，我们也称f(x,y)是一个二元函数。

推广 二元函数的定义不难推广为n元函数的定义，这只是把平面点集E改为n维空间中的点集就可以了，我们简记n元函数为

f(x1,x2,x3,...,xn)。

3.2、二元函数的极限

3.2.1二元函数极限的定义1

设二元函数f(M)?f(x,y)在点M0(x0,y0)附近有定义（而在M0点是否有定义无关紧要）。如果对任意给定的??0，总存在??0，当我们就称A是二元函数f(M)在M00?r(M,M0)??时恒有|f(M)?A|??，点的极限，记为

f(M)?A或f(M)?A(M?M0)。 Mlim这一定义也可以用点的坐标表?M0述，即：如果对任意给定的??0，当0?(x?x0)2?(y?y0)2??时，恒有|f(x,y)?A|??，就称A是f(x,y)在(x0,y0)点的极限，记为

x?x0y?y0limf(x,y)?A。

3.2.2二元函数极限的定义2

还可以用领域来表达：若对A的任意?领域0(A,?)，总存在M0点的?领域0(M,?)，当M?0(M0,?)??M0?时，恒有f(M)?0(A,?),就称A是

f(M)在M0点的极限。

3.2.3二元函数极限的定义3

若对??0，存在??0，使当|x?x0|??,|y?y0|??,且(x.y)不与

(x0,y0)重合，亦即(x?x0)2?(y?y0)2?0时，恒有|f(x,y)?A|??。那么称

A为f(x,y)在点M0的极限。

例： f(x,y)?xy22,x?y?0, 22x?yy?0x?0 显然f(0,y)?0,f(x,0)?0,因此f(0,y)?0,f(x,0)?0,以即当M沿直线

x?0或沿直线y?0而趋于(0,0)点时，f(x,y)趋于零；但当M沿直线

y?mx(m?0)趋于零时，即f(x,y)在(0,0)点极限不存在。

3.3 二元函数的连续性

f(M)存在，3.3.1 二元函数连续的定义 若f(M)在M0有定义，Mlim?M0f(M)?f(M0)时，则称f(M)在点M0连续，因此把且二者相等，即Mlim?M0上面的A换成f(M0)，就可得到连续定义的???叙述法。 3.3.2 有界闭区域上连续函数的性质

3.3.2.1 有界性定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则它在D上有界，亦即存在正数M，使在D上恒有|f(x,y)|?M。

3.3.2.2 最大值最小值定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则它在D上比有最大值和最小值，亦即在D上存在点M1(x1?y1)和

M2(x2?y2)，使对D上任意的点(x,y)，恒有f(x1,y1)?f(x,y)?f(x2,y2)，

也就是说，f(x1,y1),f(x2,y2)分别是f(x,y)在D上的最小值和最大值. 3.4二重极限和二次极限

前面所考虑的f(x,y)的极限也称为二重极限。此外，我们还讨论

x,y先后相继地趋于各自的极限时f(x,y)的极限，称为二次极限。

3.4.1 二次极限的定义 若对任一固定的y，当x?a时，f(x,y)的极

f(x,y)??(y),而?(y)当y?b时的极限也存在并等于A，亦即 限存在limy?alim?(y)?A,那么称A为f(x,y)先对x、后对y的二次极限，记为

y?alimlimf(x,y)?A.同样可定义点对y、后对x的二次极限limlimf(x,y)。

y?bx?ax?ay?bf(x,y)?A（有限或无3.4.2 定理 若f(x,y)在点(a,b)的二重极限为limx?ay?b限）且对任一靠近b（可以不等于b）的y，当x?a时，f(x,y)存在

f(x,y),则二次极限limlimf(x,y)?lim?(y)存在且等于有限极限?(y)?limx?ay?bx?ay?b二重极限A。

证明 只就A为有限的情形求证。

由于二重极限存在，故对任意给的??0，存在??o,当

|x?a|??,|y?b|??,(x?a)2?(y?b)2?0,恒有|f(x,y)?A|??.

现在固定y,y?b，而在上式中令x?a，即得

|?(y)?A|??,同理，若在定理中把?(y)?limf(x,y)存在改为

x?a?(y)?limf(x,y)存在，则limlimf(x,y)也存在且等于A。

y?bx?ay?b3.5、二元函数极限的求解方法 3.5.1定义法求解二元函数的极限

例1： 利用二元函数极限定义证明下列各式

x2?y2xy?1xy2?0（1）lim;(2)lim?3 2x?0x?3x?yy?1y?0y???证明：

（1）对任意给定的??0，取???，当0?(x?0)2?(y?0)2??时，有

x2?y2x2?y222|f(x,y)?0|?|xy2|?|xy|||?|xy|?|x||y|?x?y??222x?yx?yx2?y2limxy2?0 2x?0x?yy?0，故

（2）因为y??，所以不妨设y?0。

|xy?1?3y(x?3)y?4|x?3|y44|?||???|x?3|? y?1y?1y?1y?1y对任意给定的??0，取0???|xy?1xy?1?3|故lim?3。

x?3y?1y?1y????5和A?1?，当|x?3|??和y?A时，恒有

3.5.2、利用二元连续函数的性质求解 命题：若函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续，则例3. 求下列极限

(x,y)?(0,kx2)limf(x,y)?f(x0,y0)