【提优教程】江苏省2020高中数学竞赛 第71讲三角问题选讲教案

再证a2?b2?c2ab?bc?ca222222?3．

ABCsinsin，2228．解：由三角形相关知识有：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC，r?4Rsin因此f=2R(sinA?sinB?1?4sin?2R[2sin?4Rcos?4Rcos?2R(cosABCsinsin) 222B?AB?AB?AB?ACcos?1?2(cos?cos)sin] 22222B?ACCC(cos?sin)?2R?4Rsin2 2222B?ACCCC(cos?sin)?2R(cos2?sin2) 22222CCB?ACC?sin)(2cos?cos?sin) 22222∵

cosA?B?C，∴0?B?A?B?C，，

故

又0?B?A?B?A2cos，因，

此则，

B?ACB?AB?AC?cos,cos?cos?sin22222CC??sin?C?222CC??sin?C?． 222B?ACC?cos?sin222CC??sin?C?222f(x)?0?cosf(x)?0?cos；f(x)?0?cos“习题”解答：

1．解：选B．9?8sin50??9?8sin10??8sin10??8sin50? ?9?8sin10??8[sin(30??20?)?sin(30??20?)] ?9?8sin10??8cos20??9?8sin10??8(1?2sin210?) ?16sin210??8sin10??1?(4sin10??1)2 所以a?1,b?4,c?10，

2．解：由sin2?53a?b1?． c2????>sin1,cos1>cos得，n·sin>n·sin1>5cos1+1>1+5cos， 3333因此n>?73?4，因此n的最小值是5，选B． 33．解：这是与自然数有关的命题，可以考虑用数学归纳法来证明．

当n?k?1时，证明如下：|sin(k?1)x|?|sinkxcosx?coskxsinx|?|sinkxcosx|?|coskxsinx| ?|sinkx|?|sinx|?(k?1)|sinx|

4．证明：不妨设PA、PB、PC、PD的长分别为a、b、c、d，则有 AD2=a2+d2+2adcosθ，BC2=b2+c2+2bccosθ， AB2=a2+b2-2abcosθ，CD2=c2+d2-2cdcosθ，

2222

前两式之和减去后两式之和得：AD+BC-AB-CD=2(ad+bc+ab+cd)cosθ，又凸四边形ABCD中，

2222

AC·BD=ad+bc+ab+cd，因此AD+BC-AB-CD=2 AC·BD cosθ，∴

AD2?BC2?AB2?CD2． cos??2AC?BDcrc(a?b?c)c2(sinA?cosA?1)sinA?cosA?15．解：? ??2SabcsinAcosAsinAcosA?22?cr?，由A?(0,)知的取值范围是[2(2?1),1)．

?sinA?cosA?12S2sin(A?)?14

6．证明：依题意有x=cos(y+z)，y=cos(z+x)，z=cos(x+y)，则

x?y?2zx?y ① sin22x?y?2zx?y|x?y|∵|sin|?1,|sin|?(x?y)

222x?y∴当x?y时，由①式有|x?y|?2|sin|?|x?y|，产生矛盾．因此x=y，同理可证y=z，

2x-y=cos(y+z)-cos(z+x)=2sin于是x=y=z．

7．解法一：S集即为由直线y??xcos??cos2?确定的上半平面的交集（?不同，相对应的上半平面一般也不同，但所有的这种上半平面有公共部分即交集；另外，可以规定上半平面也包含这条直线），而半径为r的圆的圆心（0，7）到直线y??xcos??cos2?的距离为7?cos2?7?cos2?7?cos2?，由题意知，r应满足r≤，故r的最大值是的最小2221?cos?1?cos?1?cos?值．7?cos2?1?cos?2?2cos2??61?cos?2?21?cos2??41?cos?2?42，当且仅当cos???1时，r的

最大值为42．

解法二：（二次函数方法）把cos2?+xcos?+y≥0改写为2cos+xcos?+y-1≥0，令t=cos?问题等价转换为2t2+xt+y-1≥0(-1≤t≤1)恒成立，求x,y的关系．可按对称轴位置分两种情况讨论：

2

?xx2

①若对称轴t=?<-1或t=?>1（即x>4或x<-4）时，只须t=cos?=±1时，恒有2t+xt+y-1≥0

44?x?y?1?0(x?4或x??4)； 即可，从而可得：??x?y?1?0?x2

②若对称轴t=?∈[-1，1]，即-4≤x≤4时，只须判别式△≤0即x≤8(y-1), (-4≤x≤4)．

4综上可得：S对应的平面点集为?x?y?1?02

(x?4或x??4)或x≤8(y-1), ???x?y?1?0(-4≤x≤4)，设

圆x+(y-7)=r与抛物线x=8(y-1)相切，消去8(y-1)+(y-7)-r=0，即y-6y+41-r=0，令△

2

2

2

2

2222

x得

=0得r=42，此时x=±4, y=3，而点（0，7）到直线y+x+1=0的距离为42，∴r最大值为42．

8．证：作差，x2?y2?z2?(2xycosC?2yzcosA?2zxcosB) =x2?y2?z2?(2xycosC?2zxcosB)?2yzcos(B?C)

=x2?y2?z2?(2xycosC?2zxcosB)?2yz(cosBcosC?sinBsinC)（配方） =(x?ycosC?zsinB)2?(ysinC?zsinB)2?0．

?x?ycosC?zcosB?0等号成立的充要条件是?，易得y:z?sinB:sinC，则y=ksinB，z=ksinC，

?ysinC?zsinB?0代入得x=ksin(B+C)=ksinA， ∴x:y:z?sinA:sinB:sinC．

?9．解：函数的定义域为[4，5]，可设x?4?sin2?(0???)，则有

2??y?sin2??15?3(4?sin2?)?sin??3cos??2sin(??)，又0???，

23因此值域为[1，2]．

10．证明 引进平均值三角变换，a?2?cos2?,b?2?sin2?,(0???45?,??0)，则

a?b??2，ab?4?cos?sin???sin2?222，

2ab?2sin22????sin22?a?b?，

a2?b24?2(cos4??sin4?)???1?cos22? 222aba?ba2?b2由1?cos2??1?sin2??sin2?得． ?ab??a?b2222

11．证明：过P作三边垂线，分别交BC、AC、AB于D、E、F，设AP=x，BP=y，CP=z，∠PAE=α，则cosα=则

AEAF，cos(A-α)= ， xxAEAFcosB?cosC?cos?cosB?cos(A??)cosC， xx下证cos?cosB?cos(A??)cosC?sinA，即AE?cosB?AF?cosC?xsinA． cos?cosB?cos(A??)cosC??cos?cos(A?C)?(cosAcos??sinAsin?)cosC=

sinAsinCcos??cosAcosCcos??cosAcosCcos??sinAcosCsin? =sinA(sinCcos??cosCsin?)?sinAsin(C??)?sinA．

∴cos?cosB?cos(A??)cosC?sinA， 即AE?cosB?AF?cosC?xsinA成立． 同理，BE?cosC?BD?cosA?ysinB，

CD?cosA?CE?cosB?zsinC，

三式相加即得所证不等式成立．

12．证明 设a?cos2?,b?cos2?,c?cos2?，则0?a,b,c?1，且a?b?c?1，从而原不等式等价于

0?a4?b4?c4?2(a2?b2?c2)?1?ab?bc?ca?abc ①

令 ab?bc?ca?u,abc?v，则a2?b2?c2?1?2u，a4?b4?c4?2u2?4u?4v?1， 于是①等价于0?2u2?4v?u?v

0?2u2?4v显然成立，等号当?,?,?中两个取2u2?4v?u?v等价于u?2u2?3v，

(a?b?c)2a?b?c222由a?b?c?， ?33?，一个取0时成立． 2∴u?2u2?u(1?2u)?(ab?bc?ca)(a2?b2?c2)

a?b?c?33a2b2c2?3abc?3abc?3v 3故原不等式成立．

?(ab?bc?ca)