【提优教程】江苏省2020高中数学竞赛 第71讲三角问题选讲教案

第十一讲 三角问题选讲

三角既是一个数学分支，同时也是一种数学方法．

三角函数是沟通形与数的联系的有力工具，在各数学分支中有着广泛的应用．三角方法是指主动地、有意识地实施三角代换，将一些代数、几何问题迁移到三角函数情境中来，利用三角体系完整的公式去简化、解决问题．同时，借助于三角公式，也可将三角问题转化为代数或其他问题进行求解．另外，三角原于测量与解三角形，三角函数理论在解决生产、科研和日常生活中的实际问题中也有着广泛的应用．

A类例题 例1 函数 y?|cosx|?|cos2x|(x?R) 的最小值是 .（2020年江苏省数学竞赛） 分析 题中函数含x与2x的三角函数，可考虑先用三角公式化为x的三角函数，再寻求解题方法．

解 令 t?|cosx|?[0,1]，则 y?t?|2t2?1|． 当 2219?y?2； ?t?1 时， y?2t2?t?1?2(t?)2?，得 224822919 时， y??2t2?t?1??2(t?)2?，得 ?y? 22848当 0?t?22, 故填 ． 22 说明 三角函数的问题有时也可通过变量代换的方法将其转化为代数问题进行求解，实施转化的前提是熟练掌握和深刻理解三角的公式，如本题抓住二倍角的余弦可表示为单角余弦的二次式这一特征，从而作出相应的变量代换．

又 y 可取到 例2 求方程xy?1?yx?1?xy的实数解．

分析 这是一个具有对称性的无理方程，可考虑用三角代换去掉根号，化有三角方程求

222

解，由于根号里面为x-1与y-1，故联想公式secα-1=tanα，可进行如下变换：x=secα，y=sec2β．

解 由题意知x>1，y>1，可设x=secα，y=secβ，其中0??,??从而x-1= secα-1=tanα，y-1= secβ-1=tanβ，原方程可化为： 2222

secα·tanβ+ secβ·tanα=secα·secβ，

sin?sin?1即， ??cos2?cos?cos2?cos?cos2?cos2?因此有sinβ·cosβ+sinα·cosα=1，即sin2β+sin2α=2，从而sin2β=1，sin2α=1，，因此x=y=2，经检验，x=2，y=2是原方程的解． 4说明 施行适当的三角代换，将代数式或方程转化为三角式或方程求解，这是三角代换应用的一个重要方面，充分体现了三角与代数之间的内在联系．

例3 已知正三角形ABC内有一条动线段，长为a，它在△ABC三边AB、BC、AC上的射影

2

2

2

2

2

2

?2，

?????3长分别为l、m、n．求证：l2?m2?n2?a2．

2分析 动线段在三角形各边上的射影可由a和动线段与各边所成角表示出来，因此问题的

A动线段的长关键是如何

PBQC?表示出动线段与各边所成角．

解 设动线段为PQ，长为a，设PQ与BC所成角为θ（0°≤θ≤90°），则PQ与AC所成角为60°-θ，PQ与AB所成角为60°+θ，于是有l=acos(60°+θ)，m=acosθ，n=acos(60°-θ)，

2222222

因此有l+m+n=a[cos(60°+θ)+ cosθ+ cos(60°-θ)]， 222

而cos(60°+θ)+ cosθ+ cos(60°-θ) ==

1?cos(120??2?)1?cos2?1?cos(120??2?) ??2223133?(cos120?cos2??cos2??cos120?cos2?)?，∴l2?m2?n2?a2． 2222 说明 本题也可以利用向量知识求解，读者不妨一试．

情景再现 1．若sinx?siny?1，则cosx?cosy的取值范围是 A． [?2, 2] B． [?1, 1] C． [0,3] D． [?3,3]

（2020年浙江省数学竞赛）

2．求所有的实数x∈[0,

??],使(2?sin2x)sin(x?)?1,并证明你的结论．

423．△ABC的三条边长分别为a、b、c．

|a2?b2||b2?c2||c2?a2|求证：．（2020年江西省数学竞赛） ??cab

B类例题 例4 △ABC的内角满足

acos2A?bsinA?1,acos2B?bsinB?1,acos2C?bsinC?1

试判断△ABC的形状．

分析 所给三式结构相同，可将(cos2A,sinA),(cos2B,sinB),(cos2C,sinC)视为ax?by?1的三组解，而ax?by?1又可看作直线方程，(cos2A,sinA),(cos2B,sinB),(cos2C,sinC)又可看作曲线x?y2?1上的三个点，因此本题可考虑用解析几何的方法去求解．

证明 由题意，(cos2A,sinA),(cos2B,sinB),(cos2C,sinC)为方程ax?by?1的三组解，因此以其为坐标的三点M、N、P都在直线ax?by?1上，又(cos2A,sinA),(cos2B,sinB),(cos2C,sinC)都满足方程x?y2?1，因此三点M、N、P又都在曲线x?y2?1上，所以三点M、N、P都为曲线

x?y2?1与直线ax?by?1的交点，而直线与抛物线至多有两个交点，因此M、N、P至少有两

个点重合，不妨设M与N重合，则由cos2A?cos2B,sinA?sinB得A=B，故三角形ABC是等腰三角形．

例5已知三个锐角?,?,?满足cos2??cos2??cos2??2．求tan?tan?tan?的最大值． 分析 注意到条件cos2??cos2??cos2??2，联想长方体的性质，构造长方体来求解． 解 构造长方体，使?,?,?分别为对角线与三个面所成角，则cos2??cos2??cos2??2， 设长方体长、宽、高、对角线分别为a、a2?b2cos??lc2?a2cos??lb、c、l，则

，

b2?c2cos??l，

， tan??，abcca?b22，

bc?a22tan??ab?c22tan??，从而

tan?tan?tan??a2?b2b2?c2c2?a2?abc2ab2bc2ac?2，当且仅当a?b?c时取等42． 4说明 构造几何模型，使三角关系形象化、具体化，构造法是用几何方法解决三角问题的常用方法．

22

例6 给定正整数n和正数M，对于满足条件a1+an+1≤M的所有等差数列{an}，求S=an+1+ an+2+…+ a2n+1的最大值．（1999年全国联赛一试）

22

分析 本题有多种解法，由条件a1+an+1≤M，也可考虑作三角代换，利用三角函数的有界性求解．

号，因此tan?tan?tan?的最大值为解 设a1?Mrcos?,an?1?Mrsin?(0?r?1,0???2?)，则

S??n?1n?1n?1(an?1?a2n?1)?(an?1?2an?1?a1)?(3an?1?a1) 222n?1n?1n?1n?1Mr(3sin??cos?)?Mr?10?M?10，因此最大值为M?10． 2222例7 设△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ． 求证：cotθ=cotA+cotB+cotC. A?分析 设三边为a、b、c，PA、PB、PC分别为x、y、z，可xb考虑利用正弦定理、余弦定理来表示出边角关系，进而证明本cyzP题．

??解 对三个小三有形分别使用余弦定理得：

aCBy2=x2+c2-2xccosθ，z2=y2+a2-2yacosθ，

x2=z2+b2-2zbcosθ，三式相加得：2(ay+bz+cx)cosθ=a2+b2+c2，

又由正弦定理知，S△ABC= S△ABP+S△PBC+S△PAC=

1(xc+ay+bz)sinθ，两式相除得：2a2?b2?c2222222

cot??，又在△ABC中，由余弦定理有a=b+c-2bccosA，b=c+a-2cacosB，

4S?ABCc2=a2+b2-2abcosC，相加得，a2+b2+c2=2abcosC+2bccosA+2accosB，

从而cot??2abcosC2bccosA2cacosB， ??4S?ABC4S?ABC4S?ABC又4S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB，分别代入上式右边的三个分母即得：

cotθ=cotA+cotB+cotC.

说明 合理利用正弦定理、余弦定理可解决平面几何中的一些边角关系式的证明．

情景再现 4．如图，一块边长为20cm的正方形铁片ABCD个半径为r cm（r∈（0，20]）的扇形AEF（四分用剩下部分截成一个矩形PMCN，怎样截可使此矩大？最大面积为多少？

5．求满足下式的锐角x：

5?12cosx?7?43sinx?4

DNC已截去了一之一个圆），形面积最

FPAMB?E6．P是△ABC的内心，R、r分别为△ABC外接圆和内切圆的半径．求证：6r≤PA+PB+PC≤3R.

C类例题 例8 给定曲线族2(2sin??cos??3)x2?(8sin??cos??1)y?0，?为参数，求该曲线在直线y?2x上所截得的弦长的最大值．（1995年全国联赛二试）

分析 显然，该曲线族恒过原点，而直线y?2x也过原点，所以曲线在直线y?2x上所截得的弦长仅取决于曲线族与y?2x的另一交点的坐标．

解法一 把y?2x代入曲线族方程得：(2sin??cos??3)x2?(8sin??cos??1)x?0， 又2sin??cos??3?3?5?0，故x≠0时，就有x?8sin??cos??1，令

2sin??cos??32u1?u28u?12

，则，得2xu+2(x-4)u+(x-1)=0，由u∈R知，当xsin??,cos??x?2221?u1?u2u?2u?12

≠0时，△=[2(x-4)]-8x(x-1)

2

=4(-x-6x+16)≥0，从而-8≤x≤2且x≠0，因此|x|max=8，由y?2x得，弦长为1?22|x0|，

从而弦长的最大值为82?162?85．

解法二 曲线族与直线y?2x相交于（0，0）及另一点(x0,y0)，且x0满足(2x0?8)sin??(x0?1)cos??1?3x0，故存在?，使得

(2x0?8)sin??(x0?1)cos??(2x0?8)2?(x0?1)2sin(???)