初升高衔接课程 许辉 教案

一、专题精讲

1）乘法公式：

【公式1】(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca 证明：?(a?b?c)2?[(a?b)?c]2?(a?b)2?2(a?b)c?c2

?a?2ab?b?2ac?2bc?c?a?b?c?2ab?2bc?2ca ?等式成立

22222212x?)2

3122解：原式=[x?(?2x)?]

3【例1】计算：(x?2111?(x2)2?(?2x)2?()2?2x2(?2)x?2x2??2??(?2x)333

8221?x4?22x3?x2?x?339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．

【公式2】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方和公式)

证明: (a?b)(a?ab?b)?a?ab?ab?ab?ab?b?a?b 说明：请同学用文字语言表述公式2.

【例2】计算： （2a+b）（4a2-2ab+b2）=8 a3+b3

【公式3】(a?b)(a?ab?b)?a?b(立方差公式) 巩固练习： 1．计算

（1）（3x+2y）（9x2-6xy+4y2）=

223322322223332233

（2）（2x-3）（4x2+6xy+9）= （3）?1?111?1m??(m2?m?)=

3?469?2（4）（a+b）（a2-ab+b2）（a-b）（a2+ab+b2）= 2．利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m3-n3= （2）27m3-

13n= 8（3）x3-125= （4） m6-n6=

【公式4】(a?b)3?a3?b3?3a2b?3ab2 【公式5】(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3 【例3】计算：

（1）(4?m)(16?4m?m)

422（2）(m?2151111n)(m2?mn?n2) 2251042222（3）(a?2)(a?2)(a?4a?16) （4）(x?2xy?y)(x?xy?y) 解：（1）原式=4?m?64?m （2）原式=(m)?(n)?2423331531231313m?n 125822336 （3）原式=(a?4)(a?4a?4)?(a)?4?a?64 （4）原式=(x?y)(x?xy?y)?[(x?y)(x?xy?y)]

?(x?y)?x?2xy?y

33263362222222说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． （2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．

2【例4】已知x?3x?1?0，求x?31的值． x3

1?3 x1211122原式=(x?)(x?1?2)?(x?)[(x?)?3]?3(3?3)?18

xxxx解：

x2?3x?1?0 ?x?0 ?x?说明：本题若先从方程x2?3x?1?0中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．

【例5】已知a?b?c?0，求

111111a(?)?b(?)?c(?)的值． bccaab解：?a?b?c?0,?a?b??c,b?c??a,c?a??b

?原式=a?

b?ca?ca?b?b??c? bcacab

a(?a)b(?b)c(?c)a3?b3?c3????? ①

bcacababc

?a3?b3?(a?b)[(a?b)2?3ab]??c(c2?3ab)??c3?3abc

?a3?b3?c3?3abc ②，把②代入①得原式=?3abc??3 abc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．

二）根式

式子a(a?0)叫做二次根式，其性质如下： (1) (a)2?a(a?0) (3)

(2) a2?|a| bb?(a?0,b?0) aaab?a?b(a?0,b?0) (4) 【例6】化简下列各式： (1)

(3?2)2?(3?1)2 (2)

(1?x)2?(2?x)2 (x?1)

解：(1) 原式=|3?2|?|3?1|?2?3?3?1?1

?(x?1)?(x?2)?2x?3 (x?2)*(2) 原式=|x?1|?|x?2|??

(x?1)?(x?2)?1 (1?x?2) ?说明：请注意性质a2?|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类

讨论．

【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1)

38 (2)

32?3 (3)

11? ab(4) 2x?x3?8x 2解：(1)

38=

33?26 ??88?24?3(2?3)22?3?6?33 (2) 原式=3(2?3)(2?3)(2?3)a?ba2b?ab2(3) 原式= ?abab(4) 原式=22x?x?x2?2?22x?2x?xx?22x?32x?xx 2?2【例8】计算：

（1）(a?b?1)(1?a?b)?(a?b)2

（2）

aa?ab?aa?ab

解：(1) 原式=(1?b)2?(a)2?(a?2ab?b)??2a?2ab?2b?1

(2) 原式=aa(a?b)(a??aa(a?b)?1a?b?1a?b

?b)2a ?a?b(a?b)(a?b)b)?(a?说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算． 【例9】设x?2?32?3?,y?2?32?3，求x3?y3的值．

解：x?2?32?3(2?3)222?3?7?43,y?7?43 ? x?y?14,xy?1

原式=(x?y)(x2?xy?y2)?(x?y)[(x?y)2?3xy]?14(142?3)?2702

说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构