高中数学必修5：正弦定理与余弦定理 知识点及经典例题(含答案)

正弦定理与余弦定理

【知识概述】

在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，R为△ABC外接圆半径. 1. 正弦定理：

abc???2R sinAsinBsinC定理变式：a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC

sinA?abc，sinB?，sinC? 2R2R2RasinB?bsinA,asinC?csinA,csinB?bsinC,

a:b:c?sinA:sinB:sinC

2.余弦定理：a?b?c?2bccosA,b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC

222222222b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2,cosB?,cosC?, 定理变式：cosA?2bc2ac2ab3.射影定理：a?bcosC?ccosB,b?acosC?ccosA,c?acosC?ccosA, 4.面积公式：S?ABC?111absinC?acsinB?bcsinA 222

【学前诊断】

1．[难度] 易

在△ABC中，若C?90,a?6,B?30，则c?b等于（ ） A．1 B．?1 C．23 D．?23 2．[难度] 易

在△ABC中，若b?2asinB，则A等于（ ）

00000000 A．30或60 B．45或60 C．120或60 D．30或150

00

3．[难度] 易

222在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 且c?a?b?ba，∠C= .

【经典例题】

例1．在△ABC中，若 ,则∠A=45°，a = 2,c =6，则∠B=_______, b =___________.

例2．已知△ ABC满足条件acosA?bcosB,判断△ ABC的形状.

例3． 在△ABC中，∠A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足 cos（1）求△ ABC的面积；

（2）若b + c =6，求a 的值．

A25?,AB?AC?3. 25

例4．在△ABC中，a , b , c分别为内角A, B, C的对边，

且2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC. （1）求A的大小；

（2）求sinB?sinC的最大值.

例5．在△ABC中，内角A ，B，C对边的边长分别是 a，b，c，已知 c=2，C =

（1）若△ABC的面积等于3，求a，b ； （2）若sinB?2sinA，求△ABC的面积．

【本课总结】

一、合理选择使用定理

解三角形需要利用边角关系，正弦定理和余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，如何恰当的选择公式则是解题的关键，一般来说，如果题目中含有边的一次式或角的正弦，可考虑选择正弦定理，如果题目中含有边的二次式或角的余弦，可考虑选择余弦定理.

二、确定三角形的形状常用归一法 在解三角形的题目中，条件中往往会同时涉及边和角，解题策略则是选择合适的公式把已知条件转化成只含有边或角的关系式.

三、解三角形主要涉及的问题

解三角形主要处理的是三角形中各边的长度、角的大小以及三角形面积等问题，在三角形中有六个基本元素，三条边、三个角，通常是给出三个独立条件，可求出其它的元素，如果是特殊三角形，如直角三角形，则给出两个条件就可以了.

已知条件 三条边 两边一角 两边及一边对角 一解 或 解的情况 唯一解 两解 可选定理 余弦定理 正弦定理 π． 3

无解 两边及其夹角 一边两角 三个角 唯一解 唯一解 无数解 余弦定理 余弦定理 正弦定理 如，若已知两边a,b和角A,则解的情况如下：

（1）当A为钝角或直角时，必须a?b才能有且只有一解；否则无解. （2）当A为锐角时，

如果a≥b，那么只有一解；

如果a

【活学活用】

1．[难度] 易

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=3，b=1，则c的值为（ ） A. 1 B. 2 C.

2. [难度] 易

△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC的形状一定为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

3. [难度] 中

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足a?(3?1)c，求A、B、C的大小.

3－1 D. 3

tanB2a?c?，tanCc