常微分方程自学练习题精品

常微分方程自学习题及答案一 填空题:

1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.

2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y1(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.

3 方程y''?2y'?y?0的基本解组是_________. 4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间. 5 方程

dy?1?y2的常数解是________. dx6 方程x''?p(t)x'??q(t)x?0 一个非零解为 x1(t) ,经过变换_______

7 若4(t)是线性方程组X'?A(t)X的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.

10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程y'?p(x)y?q(x)有积分因子(?? ). 12 求解方程

dy??x/y的解是( ). dx2213已知(axy?3xy)dx?(x?y)xdy?0为恰当方程,则a=____________.

214

?dy22??x?y,R:x?1,y?1由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). ?dx??y(0)?02dy?dy?15方程???5?6y?0的通解是( ).

dx?dx??dy?3516方程???y?x?y的阶数为_______________.

?dx?17若向量函数?1(x);?2(x);?3(x)??n(x)在区间D上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组

4dy?A(x)?的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. dx?u?u(0,t)?u(t)，(0,t)?k0u(0,t)?u(t)， ；第三类边界条件F

?x?x19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g1(t), ；第二类边界条件T

?u(L,t)?k1u(L,t)?v(t)，其中k0,k1,T都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。 ?x20、在偏微分方程组中，如果方程个数 未知函数的个数，则方程组为不定的。反之，如果方程的个数 未知函数的个数，则方程组称为超定的。（选填“多于”、“少于”或“等于”）

21、一般2个自变量2阶线性偏微分方程有如下形式：

a(x,y)?2u2?x?2b(x,y)?2u?x?y?c(x,y)??2uy?d(x,y)2?u?u?e(x,y)? ?x?y f(x,y)u?g(x,y)，其中a(x,y),b(x,y),c(x,y), d(x,y),e(x,y),f(x,y),g(x,y)都是（x,y）的连续可微函数，a(x,y),b(x,y),c(x,y)不同时为0。方程中a(x,y)???c(x,y)?u称为方程的2阶主?2b(x,y)22?x?y?x?yuu222部。若其2阶主部的系数a,b,c作成的判别式△=b2-ac在区域?中的某点（x0,y0）大于零，则称方程在

点（x0,y0）是 型的；如果△=0，则称方程在点（x0,y0）是 型的；如果△<0，则称方程在点（x0,y0）是 型的。（选填“椭圆”、“双曲”、“抛物”） 二 单项选择:

?dy?x3?y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). 1 方程dx1(A)上半平面 (B)xoy平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面 2 方程

dy?dxy?1( ) 奇解.

(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个 3 在下列函数中是微分方程y''?y?0的解的函数是( ).

(A) y?1 (B)y?x (C) y?sinx (D)y?e 4 方程y''?y?e?x的一个特解y*形如( ).

(A)ae?b (B)axe?bx (C)ae?bx?c (D)axe?bx?c 5 f(y)连续可微是保证方程

xxxxxxdy?f(y)解存在且唯一的( )条件． dx （A）必要 （B）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分 6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).

(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间

dy?3y3过点(0,0)有( ). 7 方程dx (A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解 8 初值问题x'???

2?01??1????x , 在区间,???t??上的解是( ). x?(0)????10???1??t??e??t??e? (A) u(t)???t?? (B) u(t)????t?? (C) u(t)????e?? (D) u(t)????e??

????????9 方程

dy?x2y?cosx?0是( ). dx (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程

（C)超越方程 (D)二阶线性方程

dy?dy?10 方程???3?0的通解是( ).

dx?dx? (A)C1?C2e23x2 (B) C1x?C2e?3x (C)C1?C2e?3x (D)C2e?3x

dy?dy?11 方程???4?4y?0的一个基本解组是( ).

dx?dx? (A) x,e?2x (B)1,e?2x (C)x,e2?2x (D)e?2x,xe?2x

dy?dy?12 若y1和y2是方程???p(x)?q(x)y?0的两个解,则y?e1y1?e2y2 （e1,e2为任意常数）

dx?dx?(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解

(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解 13 方程

2dy?1?y2过点(0,0)的解为y?sinx,此解存在( ). dx (A)(??,??) (B) (??,0] (C)[0,??) (D)[?14 方程y'?3xy?e是( ) .

2x??,] 22 (A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程 15 微分方程

dy1?y?0的通解是( ). dxxc1(A) y? (B) y?cx (C)y??c (D)y?x?c

xx16 在下列函数中是微分方程y''?y?0的解的函数是( ). (A)y?1 (B)y?x (C)y?sinx (D)y?e 17 方程y''?y?e?x的一个数解y形如( ).

(A) ae?b (B)axe?bx (C)ae?bx?c (D)axe?bx?c 18 初值问题x'??

xxxxxxx?1??01???? 在区间???t??上的解是( ). x;x(0)??????1??10?(A)u(t)?e?t??e?t??t??t??????????t?? (B)u(t)???t? (C)u(t)???e?t? (D) u(t)???e?t?

????????三 求下列方程的解:

1 求下列方程的通解或通积分:

dyydydy?y??1???? (3)?y1ny (2)?y?xy5 (4)2xydx?(x2?y2)dy?0 (1)

dxxdxdx?x?2(5)y?xy'?2(y') 2 求方程的解 x3 解方程:

(5)31?x(4)?0 tdy?y2cosx并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解 dxdyyy4 求方程: ??tg

dxxxdyy5求方程: ?6?xy2的通解

dxx6 求(3x?6xy)dx?(6xy?4y)dy?0的通解.

2223d4xd2x?22?x?0 7 求解方程: 4dtdtd5x1d4x??0的解 8 求方程:

dt5tdt49 求方程y''?5y'??5x的通解

21?dx?y???dtsint10 求下列方程组的通解?

dy???x??dt11求初值问题??y'?x?y R:x?1?1 y?1的解的存在区间并求出第二次近似解

y(?1)?0?12 求方程的通解 (1)

dyydyyy2? (2) (3) (y?3x)dx?(4y?x)dy?0(三种方法) ??tan2dxx?ydxxx42?dy??dy?(4)???5???4y?0 ?dx??dx?13 计算方程 y''?4y?3sin2x的通解

d2xdx?4?4x?cost 14计算方程 dtdt15 求下列常系数线性微分方程: y''?2y'?10y?xe16 试求x??

2x

?21?x的基解矩阵 ??02?