2017年全国初中数学联合竞赛（四川初三初赛）试题参考答案及评分标准

2017年全国初中数学联合竞赛（四川初赛）

试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

一、选择题(本题满分42分，每小题7分)

1、B 2、C 3、D 4、A 5、B 6、C 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

7、3 8、40 9、

?1 10、4 9

三、（本大题满分20分）

11、已知关于x的一元二次方程x2?kx?5?0与x2?5x?k?0只有一个公共的实根，求关于x的方程|x2?kx|?|k|所有的实根之和。

解：设x2?kx?5?0与x2?5x?k?0的公共实根为?， 则??2?k??5?0，??2?5??k?0， ············································ （5分） 两式相减，得(k?5)???(k?5)??0． ········································· （10分） 因为当k??5时两方程相同，有两个公共的实根，不合题意．所以k≠?5． 因此???1．从而求得k?6． ················································ （15分）

2222

所以方程|x?kx|?|k|即为|x?6x|?6，x?6x?6或x?6x??6． 显然两方程都有实根，因此方程所有实根之和是?12． ············ （20分） 四、（本大题满分25分）

12、如图，已知圆O的直径AB与CD互相垂直，E为OB中点，CE的延长线交

DF圆O于G，AG交CD于F，求的值。

CFC解：设OE?a，则OA?OB?OC?OD?2a，CE?5a， 因为△COE∽△CGD， OEHBACOOECE所以??，?FCGGDCDGCO?CD2a?4a85D所以CG???a，?

5CE5a35a。 ················································ （10分）?5过G作GH⊥AB于点H，则△COE∽△GHE，

COOECE5所以???，?

GHHEGE36318所以GH?a，HE?a，于是AH?a。?

555所以EG?CG?CE?2017年全国初中数学联赛初赛试题答案 （第1页 共 3 页）

由△AOF∽△AHG，得所以OF?

OFAO5??，?HGAH92a。 ······························································· （20分）?348DF1从而DF?a，FC?a。所以?。 ······························ （25分）

33FC2法2：连结BG、AC。设OE?BE?a，则OA?OB?OC?OD?2a，CE?5a，

ACAECE因为△ACE∽△GBE，所以??，又AC?22a，

GBGEBE8所以BG?a。 ····························································· （10分）

5在Rt△ABG中，由勾股定理可得

C872AG?AB2?BG2?16a2?a2?a。

55OEBAAOOF又因为△AOF∽△AGB，所以?，

AGBGFG82a?aDAO?BG25所以OF???a。 ···································· （20分）

AG372a548DF1从而DF?a，FC?a。所以?。 ······························ （25分）

33FC2法3：设OE?a，则OA?OB?OC?OD?2a，CE?5a， C因为△COE∽△CGD，

COOECE所以??，?OEBACGGDCDOE?CDa?4a45F所以DG???a，?HG5CE5aDCO?CD2a?4a85CG???a， ·········································· （10分）?

5CE5a过G作GH⊥CD于点H，则△DGH∽△DCG，

DGDHGH所以??，

DCDGCG322162aa2DG4DG?CG585可得DH???a，GH???a，

4a4a5DC5DCAOOF由△AOF∽△GHF，得?，?

GHFHOF546所以?，又OF?FH?2a?a?a，?

55FH42所以OF?a。 ······························································· （20分）?

32017年全国初中数学联赛初赛试题答案 （第2页 共 3 页）

48DF1a，FC?a。所以?。 ······························ （25分） 33FC2五、（本大题满分25分）

a2b213、已知a、b、c、d、x、y、z、w是互不相等的非零实数，且22??

ay?b2x2从而DF?

abcdb2c2c2d2a2b2c2d2??．求2?2?2?2的值．

b2z2?c2y2c2w2?d2z2xyzwyzxw解：将每个已知分式分子分母交换，得

a2y2?b2x2b2z2?c2y2c2w2?d2z2xyzw???．（?） ·············· （5分）?a2b2b2c2c2d2abcd即x2a?y2y2z2z2w2xzyw2b2?b2?c2?c2?d2，易得a?±c，?b?±d． ·········设zc?u，?wd?v，?当xyxa??u，b?v或a?u，yb??v时，?22则由zc?wxyzw2d2?得，u2?v2??u2abcdv2．?

显然不可能成立，舍去。 ··················································当xa?u，yb?v或xya??u，b??v时，?则由z2c?w2xyzw2d2?abcd得，u2?v2?u2v2． ···································而a2b2c2d2xyzw2(11u2?v22?2?2?2?u2?v2)?2u2v2?2． ····················2017年全国初中数学联赛初赛试题答案 （第3页 共 3 页）

10分）?

15分）?20分）?

25分）

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