高等数学教材

（i） 令

（ii）（iii）（iv）

令 令 令

（v）倒代换 令 ，消去被积函数分母中的因子。

例28 求 （，整数）的递推公式。

解

=

=

=

所以 ，其中

例29 求解 令

，则有

从而有

由此可见，使用分部积分法的关键在于适当选出被积表达式中的

和

，使得

中右边的不定积分容易求出。如果选择不当，可能反而会使求不定积分更加复杂.如在例29中取

. 就有

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这样，右端的不定积分显然比左端更难求得.

.

例30 求 与

解

经相互代入，移项整理后即得

类似的，下列类型的积分，通常可用分部积分来计算：

其中

，

为自然数.

例31 求不定积分

分析：计算有理函数的积分可分为两步进行。第一步：用待定系数法或赋值法，将有理

分式化为简单分式之和；第二步：对各简单分式分别积分。其中把被积函数变成部分分式是关键。此题先将分母分解因式再把被积函数化成部分分式。

解 因为

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通分比较系数得：

所以 ： =

=

例32 求

分析：三角有理函数的积分，一般都可以通过“万能代换”化为有理函数的积分进行计算。

解 （方法一）令，则 ，

于是 = =

= =

= =

（方法二） = =

= =

=

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总结：

（1）三角有理函数的积分但计算起来比较麻烦；

，一般利用将其转化为有理函数的积分，

（2）做题时要注意分析被积函数的特点，通常是采用变量代换和三角公式简化积分。

例33 求.

解 由于故令

，就有

在此例中如果仍令，则不如上法简单。通常当被积函数是，及

的有理式时，通常采用

的变换。

往往较为简便。其他情形可因题而异，选择较为合适

例34 求

解

其中 并设

例35 求解 令

，则

，

，

于是 = = =

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