2020届数学(理)高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题三 第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积

为CC1的中点，则三棱锥EBCD的体积是________．

解析：设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，所以1111

VE-BCD＝×ab×c＝abc＝10.

32212

答案：10

8．(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为________．

解析：由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱1

柱，所以该几何体的体积V＝×(1＋2)×2×2＝6.

2

答案：6

9．(2017·北京卷改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．

解析：根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥P-ABCD)如图所示，将该四棱锥放入棱长为2的正方体中．由图可知该四棱锥的最长棱为PD，PD＝22＋22＋22＝23.

答案：23

10．(2019·惠州调研)已知一张矩形白纸ABCD，AB＝10，AD＝102，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将△ABE，△CDF沿BE，DF折起，使A，C重合于点P，则三棱锥PDEF的外接球的表面积为________．

解析：三棱锥P-DEF中，PD2＋PF2＝CD2＋CF2＝DF2，

所以∠DPF＝90°，

且DF2＝102＋(52)2＝150. 又∠DEF＝90°，

所以DF的中点为三棱锥P-DEF的外接球的球心，则2R＝DF，故球的表面积S＝4πR2＝150π.

答案：150π

B级 能力提升

11．(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为( )

A．123

B．183

C．243

D．543

32

解析：由等边△ABC的面积为93可得AB＝93，

4所以AB＝6，

所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝

3

AB＝23. 3

设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.

所以三棱锥D-ABC高的最大值为2＋4＝6，

1

所以三棱锥D-ABC体积的最大值为×93×6＝183.

3故选B. 答案：B

12．我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被

挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________．

12

解析：因为S圆＝S环总成立，则半椭球体的体积为πba－πba

3

2

22＝πba. 3

42

所以椭球体的体积V＝πba.

3

因为椭球体半短轴长为1，半长轴长为3即b＝1，a＝3. 42

故椭球体的体积V＝πba＝4π.

3答案：4π

13．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝3，BC＝AB＝4，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则R＝________，内切球的体积V＝________．

解析：在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体，

则(2R)2＝AB2＋AD2＋AP2＝16＋16＋9＝41.