2013年全国高考（理科）数学试题分类汇编：圆锥曲线 - 图文

PA,PB,其中A,B为切点.

(Ⅰ) 求抛物线C的方程;

(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.

*(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x?4cy,由

20?c?22?32结合c?0,解得2c?1.

所以抛物线C的方程为x2?4y. (Ⅱ) 抛物线C的方程为x2?4y,即y?设A?x1,y1?,B?x2,y2?112x,求导得y??x

24x12x22,y2?(其中y1?),则切线PA,PB的斜率分别为4411x1,x2,

22x1x12x1x??y1,即所以切线PA的方程为y?y1??x?x1?,即y?222x1x?2y?2y1?0

同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0

因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1

?x0x?2y?2y0?0222联立方程?2,消去x整理得y??2y0?x0?y?y0?0

?x?4y22由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x0?2y0,y1y2?y0

所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y0?x0?2y0?1

22又点P?x0,y0?在直线l上,所以x0?y0?2,

1?9?所以y02?x02?2y0?1?2y02?2y0?5?2?y0???

2?2?所以当y0??219时, AF?BF取得最小值,且最小值为.

22x2y243（新课标Ⅱ卷数学（理））平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:2?2?1(a?b?0)的右焦

ab点F作直x?y?3?0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为(Ⅰ)求M的方程;

(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ABCD的对角线CD?AB,求四边形ABCD面积的最大值.

*

1. 2

44（高考湖北卷（理））如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴

上,短轴长分别为2m,2n?m?n?,过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交

点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记??m,?BDM和?ABN的面积分别为nS1和S2.

(I)当直线l与y轴重合时,若S1??S2,求?的值;

(II)当?变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1??S2?并说明理由. y A B M C O N x D 第21题图

m?1??1n????m??1?1S??S2?m?n???m?n?n*解:(I)1,

解得:??2?1(舍去小于1的根)

x2y2x2y2(II)设椭圆C1:2?2?1?a?m?,C2:2?2?1,直线l:ky?x

aman?ky?x222a?mk2?22?y?1?yA??xy22am??1??a2m2同理可得, ama?mk222

又??BDM和?ABN的的高相等

?S1BDyB?yDyB?yA ???S2AByA?yByA?yB如果存在非零实数k使得S1??S2,则有???1?yA????1?yB,

22a2??2?2??1???2?1??2???1???1??2?2即:2,解得k? 22222234n?a??nka?nk