2016郑州三模解析版

18. 某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1-5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案. 1-5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元，6000元，8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额）设某选手正确回答每扇门的歌曲名字的概率均为Pi且

6?iPi?(i?1,2,...,5)，亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为1/5，该选手正确回答

7?i每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为1/2；

(1)求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；

(2)若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X元，求X的分布列和数学期望。

解析：(1)记事件“选手正确回答第i扇门歌曲”为Ai 记事件“亲友团正确回答歌曲名字”为B 记事件“回答正确后选择继续挑战”为C

54321则对应事件的概率分别为P(A1)?,P(A2)?,P(A3)?,P(A4)?,P(A5)?

6543211P(B)?,P(C)?

525412111?因此题目所求概率为P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(B)P4(C)?

6543524720注意：第三扇门选手答不出才求助

(2)X可能的取值有：0,3000,6000,8000,12000,24000

515541154311P(X?3000)??P(X?6000)??P(X?8000)??

62126522665423165432115432111P(X?12000)??P(X?24000)??

6543244865432249631P(X?0)?1?P(3000)?P(6000)?P(8000)?P(12000)?P(24000)?对立事件

96因此X的分布列为 X 0 3000 6000 8000 12000 24000 P 31/96 5/12 1/6 1/16 1/48 1/96 故有EX?3250 注意：最后一次答对无需再选择

19. 如图，四棱柱ABCD-A’B’C’D’中，侧棱AA’⊥ABCD，AB//DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA’=AB=2，E为棱AA’的中点. (1)求证：B’C’⊥CE；

(2)求二面角B’-CE-C’的余弦值；

(3)设点M在线段C’E上，且直线AM与平面ADD’A’所成角的正弦值为

2，求线段AM的长. 6解析：(1)依题意得，直四棱柱的底面为直角梯形

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以A为原点建系，则有

B'(0,2,2),C'(1,2,1),C(1,0,1),E(0,1,0)

B'C'?(1,0,?1),CE?(?1,1,?1)，由数量积为0，垂直得证

(2)设平面B’CE法向量为m，满足

?m?B'C?0?m?(1,?2,?1)?0 解得m?(?3,?2,1) ???m?CE?0m?(?1,1,?1)?0??由(1)知B’C’⊥CE，且B’C’⊥CC’，故B’C’是平面C’CE的一个法向量 二面角余弦值cos?m,B'C'???3?12 ??2147(3)设EM??EC'?(?,?,?),??[0,1]，则AM?AE?EM?(0,1,0)?(?,?,?)?(?,1??,?) 平面ADD’A’的一个法向量为n=(0,0,1)，故

cos?n,AM???2?2?(1??)2?2 6整理得(3??1)(5??1)?0

1141取??，|AM|?|(,,)|?2 3333y2x220. 已知F1,F2分别为椭圆2?2?1(a?b?0)的上下焦点，其中F1也是抛物线x2?4y的焦点，

ab点M是椭圆与抛物线在第二象限的交点，且MF1=5/3.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点P(1,3)和圆O:x2?y2?b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A,B，在线段

????????????????AB取一点Q，满足AP???PB，AQ??QB，??0且???1，探究是否存在一条直线使得点Q总在该直线上，若存在求出该直线方程。 解析：(1)焦点F1(0,1)，设交点M(x0,y0)，则

MF1?y0?1?5282?y0?，代入抛物线方程得M(?,) 333348x2y2a?b?1且2?2?1解得??1

9a3b4322(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y)，则

由AP???PB得1?x1??(1?x2)和3?y1??(3?y2)

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由AQ??QB得x?x1??(x2?x)和y?y1??(y2?y)

?x1??x2?1???x1??x2?(1??)x整理得?和?

y??y?3(1??)y??y?(1??)y?12?122222??x1??x2?(1??)x两式相乘得?2 222??y1??y2?3y(1??)22两式求和得x12?y12??2(x2?y2)?(1??2)(x?3y)

A,B两点均满足x2?y2?3，故有x?3y?3 即点Q总在该直线上

121. 设函数f(x)?x??2mlnx(m?R)

x(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个极值点是x1,x2，过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，问是否存在m使得k=2-2m？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。 解析：(1)首先确定定义域x>0

x2?2mx?1f'(x)?，令h(x)?x2?2mx?1 2x当??0时，即m?[?1,1] f'(x)?0，原函数在定义域上单调递增 当m<-1时，??0，两根均为负，原函数在定义域上单调递增 当m>1时，??0，两根均为正，故(x1,x2)?，其余区间均单调递增 (2)由(1)知函数有两个极值点时m>1且x1?x2?2m,x1x2?1 AB斜率k?f(x2)?f(x1)lnx1?lnx2 ?2?2mx2?x1x1?x2lnx1?lnx2?1

x1?x2若k=2-2m则

两根均为正且x1x2?1，若x1?x2，则x1?1,x2?1 消元得ln11?lnx2??x2 x2x2整理得x2?1/x2?2lnx2?0

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1由(1)知f(x)?x??2lnx在区间(1,??)上单调递增

x因此f(x)?f(1)?0，函数没有零点，故这样的m值不存在

四、选作题（极坐标与参数方程）

22. 如图，D,E分别为△ABC边AB,AC的中点，直线DE交△ABC的外接图于F,G两点，若CF//AB.

(1)证明CD=BC； (2)?BCD??GBD

23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线

?23??x?2?2cos?l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),(. ,)，圆C的参数方程为?32??y??3?2sin?(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；

(2)判断直线l与圆C的位置关系。 解析：(1)极坐标与直角坐标相互转换

M(2,0),N(0,21)，因此MN中点(1,) 33故直线OP的直角方程为3y?x

x3y(2)由截距式得到直线MN的方程为??1

22圆的直角方程为(x?2)2?(y?3)2?4

3|1??1|32圆心(2,?3)到直线MN的距离d?? 213?44由于d

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