2020版高考数学一轮复习专题6数列第39练等比数列练习

[基础保分练]

1.若数列{an}是等比数列，下列命题正确的个数为( ) ①{a2n}，{a2n}均为等比数列；

?1?

③?a?，{|an|}成等比数列； ?n?

②{lnan}成等差数列； ④{can}，{an±k}均为等比数列

A.4B.3C.2D.1

2.(2019·绍兴模拟)等比数列{an}中，a1>0，则“a1

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a8＋a91

3.已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则等于( )

2a6＋a7A.6B.7C.8D.9

4.(2019·金华十校联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是( ) A.若a5>0，则a2017<0 C.若a5>0，则S2017>0

B.若a6>0，则a2018<0 D.若a6>0，则S2018>0

5.(2019·宁波模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为( ) A.12B.9C.16D.18

a4a6?2

6.已知数列{an}为等比数列，且a2a3a4＝－a7＝－64，则tan??3π?等于( ) A.－3B.3C.±3D.－

3

3

7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断一定正确的是( ) A.若S3>0，则a2018>0 B.若S3<0，则a2018<0 C.若a2>a1，则a2019>a2018 11

D.若>，则a2019

a2a1

1

8.公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－2a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于( )

2A.－5B.0C.5D.7

9.(2019·浙江名校联考)将公差不为零的等差数列a1，a2，a3调整顺序后构成一个新的等比数列ai，aj，ak，其中{i，j，k}＝{1,2,3}，则该等比数列的公比为________.

1?n－1*n

10.已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－?＋2(n∈N)，则数列{2an}的前100项的和为________. ?2?

[能力提升练]

1.(2019·杭州模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则数列{nan}的前n项和为( ) A.－3＋(n＋1)×2n C.1＋(n＋1)×2n

B.3＋(n＋1)×2n D.1＋(n－1)×2n

a3＋a412.(2019·浙江杭州二中模拟)各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为( )

2a4＋a5A.

5＋1

2

B.D.

5－1

2

5＋11－5

或 22

1－5

C.

2

3.(2019·温州模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为( )

A.－3B.1C.－3或1D.1或3

a4＋a61

4.(2019·湖州模拟)已知等比数列{an}满足＝，a＝4，记等比数列{an}的前n项积为Tn，则当Tn取

a1＋a385最大值时，n等于( ) A.4或5B.5或6C.6或7D.7或8

5.已知数列{an}的首项a1＝2，其前n项和为Sn，若Sn＋1＝2Sn＋1，则an＝________. 6.设Sn为数列{an}的前n项和，2an－an－1＝3·2n1(n≥2)且3a1＝2a2，则Sn＋an＝________.

－

答案精析

基础保分练

1

1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.A 7.D 8.A 9.－或－2

210.5050

1?n－1?1?n－2＋2， 解析 由Sn＝－an－?＋2得，当n≥2时，S－1＝－an－1－n?2??2?1?n－1

故an＝an－1－an＋??2?，

1－

整理得2nan＝2n1an－1＋1，又a1＝，所以{2nan}是首项为1且公差为1的等差数列，故2nan＝n.数列{2nan}

2101

的前100项和为1＋2＋3＋4＋…＋100＝×100＝5 050.

2能力提升练

1.D [设等比数列{an}的公比为q， ∵S3＝7，S6＝63，

??∴q≠1，∴?a

??

a1

1

1－q3

＝7，

1－q

1－q6

＝63，

1－q

?a1＝1，?－

解得?∴an＝2n1，

??q＝2，

∴nan＝n·2n1，设数列{nan}的前n项和为Tn，∴Tn＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋(n－1)·2n2＋n·2n

－

－

－1,

2Tn＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n－1)·2n1＋n·2n，∴－Tn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n1－n·2n＝2n

－

－

－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Tn＝1＋(n－1)×2n，故选D.]

11

2.B [设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q(q>0)，则由a2，a3，a1成等差数列得2×a3＝a1＋a2，

221＋5a3＋a4a3＋a45－11

即a1q2＝a1＋a1q，则q2＝1＋q，解得q＝，则＝＝＝，

22a4＋a5a3＋a4qq故选B.]

3.C [设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n,3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，

a11－qn

所以Sn＝，

1－qa11－qn

Sn＋2＝

1－q

＋2

，

代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有

2

??4－q＝0，? ?3＋3a1－3q＝0，?

???a1＝1，?a1＝－3，

?解得或? ?q＝2???q＝－2，

故a1＝1或－3，故选C.]

a4＋a6114.C [方法一 设数列{an}的公比为q，由＝，得q3＝，

8a1＋a381－－

则q＝，则an＝a5·qn5＝27n，

2从而可得Tn＝a1·a2·…·an＝2

6＋5＋4＋…＋(7－n)

＝2n(6?7?n)2＝21(?n2?13n)2，

1

所以当(－n2＋13n)取最大值时，Tn取最大值，此时n＝6或7，故选C.

2

a4＋a6111－－

方法二 设数列{an}的公比为q，由＝，得q3＝，则q＝，则an＝a5·qn5＝27n，令an＝1，则n

82a1＋a38

＝7，又当n<7时，an>1，当n>7时，an<1，Tn＝a1·a2·…·an，且an>0，所以当n＝6或7时，Tn取最大值，故选C.]

??2，n＝1，5.? n－2

?3·2，n≥2?

解析 因为Sn＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1).

Sn＋1＋1－因为S1＋1＝3，故Sn＋1≠0，所以＝2，{Sn＋1}是等比数列，公比为2，首项为3，故Sn＝3·2n1

Sn＋1－1，

??2，n＝1，

所以an＝? n－2

?3×2，n≥2.?

6.3·2n

an1an－13－

解析 由2an－an－1＝3·2n1(n≥2)，得n＝·n－1＋，

2424an1?an－1?

∴n－1＝?n－1－1?， 24?2?由2an－an－1＝3·2n1(n≥2)，

－

且3a1＝2a2，

可得2a2－a1＝6，即2a1＝6，a1＝3.

?an?11

∴数列?2n－1?是以为首项，为公比的等比数列，

24??

an11?n－1?1?2n－1

则n－1＝·?＝?2?， 22?4?∴an＝2n(21

－2n

＋1)＝21n＋2n，

－

?1－1n?1×111??2?21－2n－?23n

∴Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1＋(2＋2＋2＋…＋2)＝＋＝2·2n－21n.

1??1－21－2

∴Sn＋an＝3·2n.