2020版高考数学大一轮复习-第8节离散型随机变量的均值与方差讲义(理)(含解析)新人教A版

P 数学期望E(X)＝0×8＝. 3答案 B

1 72924 729192 729512 7291241925128＋1×＋2×＋3×＝，或由二项分布的期望公式可得E(X)7297297297293

13.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击7

到3次为止.设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为Y，若Y的数学期望E(Y)>，则p4的取值范围是________.

解析 由已知得P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，

P(Y＝3)＝(1－p)2，

722

则E(Y)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)＝p－3p＋3>，

451

解得p>或p<，

22

?1?又p∈(0，1)，所以p∈?0，?.

?2??1?答案 ?0，?

2

?

?

14.(2019·青岛二中月考)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.

(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？

男 课外体育不达标 60 课外体育达标 总计 17

女 总计 110 (2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

n（ad－bc）2

附：K＝.

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

2

P(K2≥k0) k0 0.15 2.072 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 解 (1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50， 则“课外体育不达标”人数为150， ∴列联表如下： 男 女 总计 课外体育不达标 60 90 150 2课外体育达标 30 20 50 总计 90 110 200 200×（60×20－30×90）200∴K＝＝≈6.061<6.635.

90×110×150×5033

2

∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.

(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：ξ的所有可能取值为1，2，3， C6C263

P(ξ＝1)＝3＝＝；

C85628C6C23015

P(ξ＝2)＝3＝＝；

C85628C6205

P(ξ＝3)＝3＝＝；

C85614故ξ的分布列为

32112

ξ P 1 3 282 15 283 5 1431559

故ξ的数学期望为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝. 2828144

新高考创新预测

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15.(试题创新)已知随机变量ξi的分布列如下：

ξi 0 1 2 P (1－p2i) 2pi(1－pi) p2i 其中i＝1，2，若0

1<2<2，则( )

A.E(2ξ1)D(2ξ2) C.E(2ξ1)>E(2ξ2)，D(2ξ1)E(2ξ2)，D(2ξ1)>D(2ξ2) 解析 由分布列知ξi～B(2，pi)(i＝1，2)，

则E(ξ1)＝2p1，E(ξ2)＝2p2，D(ξ1)＝2p1(1－p1)，D(ξ2)＝2p2(1－p2)，

所以E(2ξ1)＝2E(ξ1)＝4p1，E(2ξ2)＝2E(ξ2)＝4p2，D(2ξ1)＝4D(ξ1)＝8p1(1－p1)，D(2ξ2)＝4D(ξ2)＝8p2(1－p2).

因为0

1<2<2

，所以E(2ξ1)

D(2ξ1)－D(2ξ2)＝8p1(1－p1)－8p2(1－p2)＝8(p1－p2)[1－(p1＋p2)]<0，

所以D(2ξ1)

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