2020版高考数学大一轮复习-第8节离散型随机变量的均值与方差讲义(理)(含解析)新人教A版

1x＝，??81511

又E(ξ)＝，得2x＋3y＝，可得?

883

??y＝8.

D(ξ)＝?1－?×＋?2－?×＋?3－?×＝. 888

??

15?2

?

1?2?

15?

2

?

1?8?

15?2

?

355864

答案

55 64

7.(2019·杭州期末)在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E(ξ)＝______，方差D(ξ)的最大值为________. 解析 记事件A发生的次数ξ可能的值为0，1.

ξ P 数学期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，

0 1－p 1 p 122

方差D(ξ)＝(0－p)×(1－p)＋(1－p)×p＝p(1－p)≤.

41

故数学期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为. 41

答案 p 4

8.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望是________. 解析 随机变量X的取值为0，1，2，4， C3C3＋C3C3＋C3C33

则P(X＝0)＝＝， 11

C6C64

C2C21C2C1＋C1C21

P(X＝1)＝11＝，P(X＝2)＝＝， 11

C6C69C6C69C2C214

P(X＝4)＝11＝，因此E(X)＝. C6C63694

答案

9三、解答题

9.(2019·天津和平区模拟)某班共50名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在90分到140分之间.将成绩按如下方式分成五组：第一组：[90，100)，第二组：[100，110)，……，第五组：[130，140].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.将成绩大于或等于100分且小于120分记为“良好”，120分以上记为“优秀”，不超过100分记为“及格”.

1111

11

11

11

11

11

13

(1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数；

(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.

解 (1)由频率分布直方图知，成绩在[100，120)内的人数为50×0.016×10＋50×0.038×10＝27，

∴该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为27.

(2)由频率分布直方图可知第一组有0.006×10×50＝3个成绩，第五组有0.008×10×50＝4个成绩，即第一、五组中共有7个成绩. 由题意，X的可能取值为0，1，2， C3C42C3C44P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝2＝，

C77C77C3C41

P(X＝2)＝2＝，

C77则X的分布列为

2002

11

X P E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

27

47

1767

0 2 71 4 72 1 710.(2016·全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

14

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，

P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；

所以X的分布列为 X P 16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).

当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040. 当n＝20时，

E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.

15

可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝( ) 8A. 5

6B. 5

4C. 5

2D. 5

解析 由题意，X～B?5，

??

3?， m＋3??

5×3

又E(X)＝＝3，∴m＝2，

m＋3

3?3?6?3?则X～B?5，?，故D(X)＝5××?1－?＝. 5?5?5?5?答案 B

12.(2019·潍坊期末)某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投2

中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是

3( ) A.3

8B. 3

C.2

5D. 3

81

解析 在一轮投篮中，甲通过的概率为p＝，通不过的概率为.

99由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3， 1?1?则P(X＝0)＝??＝；

?9?729

89

3

P(X＝1)＝C13××??＝

9

2

?1???

2

24； 729

?8?×1＝192；

P(X＝2)＝C2×3?9?9729

??

P(X＝3)＝

512. 729

∴随机变量X的分布列为：

X 0 1 2 3 16