2020版高考数学大一轮复习-第8节离散型随机变量的均值与方差讲义(理)(含解析)新人教A版

这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.

规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.

【训练3】 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

年入流量X 发电机最多可运行台数 40120 3 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 10

解 (1)依题意，得p1＝P(40

50

p2＝P(80≤x≤120)＝＝0.7， p3＝P(X>120)＝＝0.1.

由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为

550

3550

?9?＋4×?9?×?1?＝0.947 7. 413

p＝C0(1－p)＋C(1－p)p＝43433?10??10??10???????

(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元). ①安装1台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000. ②安装2台发电机的情形.

43

9

依题意，当40

P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.

由此得Y的分布列如下：

Y P 4 200 0.2 10 000 0.8 所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安装3台发电机的情形.

依题意，当40

当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；

当X>120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.

因此得Y的分布列如下： Y P 3 400 0.2 9 200 0.7 15 000 0.1 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.

[思维升华] 基本方法

1.已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； 2.已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；

3.如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解. [易错防范]

1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式.

10

2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1.已知离散型随机变量X的分布列为

X P 则X的数学期望E(X)＝( ) 3A. 2

B.2

1 3 52 3 103 1 105C. 2

D.3

解析 由数学期望公式可得

E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

答案 A

2.已知离散型随机变量X的概率分布列为

3531013102

X P 则其方差D(X)＝( ) A.1

B.0.6

1 0.5 3 5 0.2 m C.2.44 D.2.4

解析 由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D(X)＝(1－2.4)×0.5＋(3－2.4)×0.3＋(5－2.4)×0.2＝2.44. 答案 C

3.(2019·宁波期末)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N)个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)＝1，则E(X)＝( ) A.1

B.2

C.3

D.4

*

2

2

2

解析 由题意，X～B(4，p)，∵D(X)＝4p(1－p)＝1， 11

∴p＝，E(X)＝4p＝4×＝2.

22答案 B

11

4.签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为( ) A.5

B.5.25

C.5.8

D.4.6

2

11C33

解析 由题意可知，X可以为3，4，5，6，P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝3＝，P(X＝5)

C620C620C43C511331

＝3＝，P(X＝6)＝3＝.由数学期望的定义可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝C610C6220201025.25. 答案 B

5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对21

方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且33各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为( ) 241

A. 81

266B. 81

C.274 81

670D. 243

2

2

解析 依题意，知X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停

?2??1?5

止的概率为??＋??＝.

?3??3?9

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮5

比赛是否停止没有影响.从而有P(X＝2)＝，

9

22

P(X＝4)＝×＝，P(X＝6)＝??＝，

9

52016266

故E(X)＝2×＋4×＋6×＝. 9818181答案 B 二、填空题

6.已知随机变量ξ的分布列为

45209981

?4???

2

1681

ξ P 15

若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.

8解析 由分布列性质，得x＋y＝0.5.

1 0.5 2 3 x y 12