2020版高考数学大一轮复习-第8节离散型随机变量的均值与方差讲义(理)(含解析)新人教A版

【训练1】 (2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互111

独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.

234

(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 解 (1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

P(X＝0)＝?1－?×?1－?×?1－?＝，

234

??

1??

??

1????

1?1?41?

P(X＝1)＝×?1－?×?1－?＋?1－?××?1－?＋?1－?×?1－?×＝，

342423

1?

2?

1????

1??

???

1?3?

1????

1??

??

1?

?

111424

P(X＝2)＝?1－?××＋×?1－?×＋××?1－?＝，

234P(X＝3)＝××＝. 所以，随机变量X的分布列为 1123

11424

??

1?1?311?42?1?111??423?1?1?4

X P 0 1 41 11 242 1 43 1 241111113

随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 42442412

(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为

P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)

＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) 11111111

＝×＋×＝. 42424448

11

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.

48考点二 二项分布的均值与方差

【例2】 (2019·顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.

5

(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；

(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)

(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值. 解 (1)∵前四组频数成等差数列， 频率

∴所对应的也成等差数列，

组距

设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，

∴0.5[0.2＋(0.2＋d)×2＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.1×3]＝1， 解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.

居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25. 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.

(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8， ∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米， 0.8－0.7

应规定w＝2.5＋≈2.83.

0.3

(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量， 可知P(A≤2.5)＝0.7， 由题意，X～B(3，0.7)，

3

P(X＝0)＝C03×0.3＝0.027， 2P(X＝1)＝C13×0.3×0.7＝0.189， 2P(X＝2)＝C23×0.3×0.7＝0.441， 3P(X＝3)＝C33×0.7＝0.343，

∴X的分布列为

X 0 1 2 3 6

P 0.027 0.189 0.441 0.343 ∵X～B(3，0.7)，∴E(X)＝np＝2.1. 规律方法 二项分布的均值与方差.

(1)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).

【训练2】 (2019·湘潭三模)某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：

质量(g) 数量(只) [5，15) 6 [15，25) [25，35) [35，45) [45，55] 10 12 8 4 (1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；

(2)以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望.

解 (1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为 1

(6×10＋10×20＋12×30＋8×40＋4×50)＝28.5(g)， 40

所以购进500 kg生蚝，其数量为500 000÷28.5≈17 544(只). 2

(2)由表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在[5，25)间的概率为，

5由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，

P(X＝0)＝??＝

5

1

?3???

4

81， 625

3

?2??3?＝216，

P(X＝1)＝C14?????5??5?625

P(X＝2)＝C2， 4????＝

?5??5?625P(X＝3)＝C3， 4????＝

?5??5?625

?2??3?3

22

216

?2??3?1

96

7

P(X＝4)＝??＝

5

?2???

4

16， 625

∴X的分布列为

X P 0 81 6251 216 6252 216 6253 96 6254 16 6258121696168

∴E(X)＝0×＋×3＋×3＋×4＝. 6256256256255考点三 均值与方差在决策问题中的应用

【例3】 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，72

且这两种情况发生的概率分别为和；

99

项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也311

可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.

5315

针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解 若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为

X1 P 300 7 9－150 2 972

∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元).

99若按“项目二”投资，设获利X2万元， 则X2的分布列为：

X2 P 500 3 5－300 1 30 1 15311

∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元).

5315

D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，

D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.

所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)

8

7

935

2913

115