9+振动++习题解答

题9-18 图

9-19 有一单摆，长为1.0m，最大摆角为5°，如图所示．（1） 求摆的角频率和周期；（2） 设开始时摆角最大，试写出此单摆的运动方程；（3） 摆角为3°时的角速度和摆球的线速度各为多少？

题9-19 图

分析 单摆在摆角较小时（θ＜5°）的摆动，其角量θ与时间的关系可表示为简谐运动方程???maxcos??t???，其中角频率ω仍由该系统的性质（重力加速度g 和绳长l）决定，即

??g/l．初相φ与摆角θ，质点的角速度与旋转矢量的角速度（角频率）均是不同的物理

概念，必须注意区分．

解 （1） 单摆角频率及周期分别为

ω?g/l?3.13s?1;T?2π/ω?2.01s

（2） 由t?0时???max?5可得振动初相??0，则以角量表示的简谐运动方程为

oπcos3.13t 36 （３） 摆角为3°时，有cos??t?????/?max?0.6，则这时质点的角速度为

θ?d?/dt???max?sin??t??????max?1?cos2??t?????0.80?max???0.218s线速度的大小为

?1

v?ld?/dt??0.218s?1

讨论 质点的线速度和角速度也可通过机械能守恒定律求解，但结果会有极微小的差别．这是因为在导出简谐运动方程时曾取sin???，所以，单摆的简谐运动方程仅在θ 较小时成立．

9-20 为了测月球表面的重力加速度，宇航员将地球上的“秒摆”（周期为2.00ｓ），拿到月球上去，如测得周期为4.90ｓ，则月球表面的重力加速度约为多少？ （取地球表面的重力加速度gE?9.80m?s）

222解 由单摆的周期公式T?2πl/g可知g?1/T，故有gM/gE?TE/TM，则月球的

?2重力加速度为

gM?TE/TMgE?1.63m?s?2

9-21 一飞轮质量为12kg，内缘半径r ＝0.6ｍ，如图所示．为了测定其对质心轴的转动惯量，现让其绕内缘刃口摆动，在摆角较小时，测得周期为2.0s，试求其绕质心轴的转动惯量．

??2

9-21 题图

分析 飞轮的运动相当于一个以刃口为转轴的复摆运动，复摆振动周期为

T?2πJ/mglc，因此，只要知道复摆振动的周期和转轴到质心的距离lc，其以刃口为转轴

的转动惯量即可求得．再根据平行轴定理，可求出其绕质心轴的转动惯量．

22解 由复摆振动周期T?2πJ/mglc，可得J?mgrT/4π．则由平行轴定理得

J0?J?mr2?mgrT2/4?2?mr2?2.83kg?m2

9-22 如图（a）所示，质量为1.0 ×10-2kg 的子弹，以500m·s-1的速度射入木块，并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐运动，设木块的质量为4.99 kg，弹簧的劲度系数为8.0 ×103 N·m-1 ，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x 轴正向，求简谐运动方程．

题9-22 图

分析 可分为两个过程讨论．首先是子弹射入木块的过程，在此过程中，子弹和木块组成的系统满足动量守恒，因而可以确定它们共同运动的初速度v0 ，即振动的初速度．随后的过程是以子弹和木块为弹簧振子作简谐运动．它的角频率由振子质量m1 ＋m2 和弹簧的劲度系数k 确定，振幅和初相可根据初始条件（初速度v0 和初位移x0 ）求得．初相位仍可用旋转矢量法求．

解 振动系统的角频率为

??k/?m1?m2??40s?1

由动量守恒定律得振动的初始速度即子弹和木块的共同运动初速度v0 为

v0?m1v?m1?m2??1.0m?s?1

2又因初始位移x0 ＝0，则振动系统的振幅为

A?2x0??v0/ω??v0/ω?2.5?10?2m

图（b）给出了弹簧振子的旋转矢量图，从图中可知初相位

0?π/2，则简谐运动方程为

x?2.5?10?2cos?40t?0.5π??m?

9-23 如图（a）所示，一劲度系数为k 的轻弹簧，其下挂有一质量为m1 的空盘．现有一质量为m2 的物体从盘上方高为h 处自由落入盘中，并和盘粘在一起振动．问：（1） 此时的振动周期与空盘作振动的周期有何不同？ （2） 此时的振幅为多大？

题9-23 图

分析 原有空盘振动系统由于下落物体的加入，振子质量由m1 变为m1 + m2，因此新系统的角频率（或周期）要改变．由于A?2x0??v0/ω?，因此，确定初始速度v0 和初始位移

2x0 是求解振幅A 的关键．物体落到盘中，与盘作完全非弹性碰撞，由动量守恒定律可确定盘与物体的共同初速度v0 ，这也是该振动系统的初始速度．在确定初始时刻的位移x0 时，应注意新振动系统的平衡位置应是盘和物体悬挂在弹簧上的平衡位置．因此，本题中初始位移x0 ，也就是空盘时的平衡位置相对新系统的平衡位置的位移．

解 （1） 空盘时和物体落入盘中后的振动周期分别为

T?2π/ω?2πm1/k T??2π/ω??2π可见T′＞T，即振动周期变大了．

（2） 如图（b）所示，取新系统的平衡位置为坐标原点O．则根据分析中所述，初始位移为空盘时的平衡位置相对粘上物体后新系统平衡位置的位移，即

?m1?m2?/k

x0?l1?l2?m1gm1?m2m?g??2g kkk式中l1 ＝m1/k 为空盘静止时弹簧的伸长量，l2 ＝（m1 ＋m2）/k 为物体粘在盘上后，静止时弹簧的伸长量．由动量守恒定律可得振动系统的初始速度，即盘与物体相碰后的速度

v0?式中v?m2m2v?2gh

m1?m2m1?m22gh是物体由h 高下落至盘时的速度．故系统振动的振幅为