初中八年级数学上册第二章

2.转化思想

7. 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA． （1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∵∠CAD=∠CBD=15°，

∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，∠ABD=∠ABC-15°=30°， ∴BD=AD，

∴D在AB的垂直平分线上， ∵AC=BC，

∴C也在AB的垂直平分线上， 即直线CD是AB的垂直平分线， ∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CDE=15°+45°=60°， ∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°； ∴∠CDE=∠BDE， 即DE平分∠BDC． （2）如图，连接MC． ∵DC=DM，且∠MDC=60°，

∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°， ∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°， ∴∠EMC=∠ADC． 又∵CE=CA， ∴∠DAC=∠CEM．

??ADC??EMC?在△ADC与△EMC中，??DAC??MEC，

?AC?EC?∴△ADC≌△EMC（AAS）， ∴ME=AD=BD．

3.分类讨论思想

8．已知AD是等腰△ABC的腰BC边上的高，∠DAB=60°，则这个三角形的顶角度数是？

解：由题意得，分三种情况：

（1）当点B为顶角的顶点时，且AD在三角形内部，∠B=90°-∠DAB=90°-60°=30°；

（2）当点B为顶角的顶点时，且AD在三角形外部，∠ABC=∠D+∠DAB=90°+∠60°=150°；

（3）当点C为顶角的顶点时，∠B=90°-∠DAB=90°-60°=30°，∴∠ACB=180°-2∠B=180°-2×30°=120°．