初中八年级数学上册第二章

解：如图所示：过Q点做Q∥AB交RA于C，连接QR ∵∠BPQ=45°，∠APR=75°， ∴∠RPQ=60°，∠CQP=45°，∠ARP=15°， ∵PR=PQ，

∴△RPQ是等边三角形， ∴∠RQC=60°， ∴∠RQC=15°，

在△RAP和△QCR中，

??A??RCQ???ARP??RQC， ?PR?QR?∴△QCR≌△RAP（AAS） ∴AR=QC=AB， 即d=a．

题型五：综合探究题

12．已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；

（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．

（1） （2）

解：（1）连结AD，

∵AB=AC，∠BAC＝90°，为BC的中点 ∴AD⊥BC，BD＝AD ∴∠B＝∠DAC＝45° 又∵BE＝AF

∴△BDE≌△ADF（SAS）

∴ED＝FD，∠BDE＝∠ADF

∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠BDA＝90° ∴△DEF为等腰直角三角形；

（2）若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示，连结AD ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点 ∴AD＝BD，AD⊥BC ∴∠DAC＝∠ABD＝45° ∴∠DAF＝∠DBE＝135° 又AF＝BE

∴△DAF≌△DBE（SAS） ∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB

∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90° ∴△DEF仍为等腰直角三角形.

章节整合梳理

专题一：轴对称的性质的应用

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．当∠A为多少时，点D恰为AB的中点？

解：证明：∵∠A=30°，∠C=90°，

∴∠CBA=60°． 又△BEC≌△BED，

∴∠CBE=∠DBE=30°，且∠EDB=∠C=90°，∴∠EBA=∠A， ∴BE=AE，又∠EDB=90°，即ED⊥AB． ∴D是AB的中点（三线合一）．

专题二:线段垂直平分线的轴对称性的应用

2. 点P是△ABC内一点，PG是BC的垂直平分线，∠PBC=∠A，BP、CP的延长线交AC、AB于D、E，求证：BE=CD．

12

证明：作BF⊥CE于F点，CM⊥BD于M点 则∠PFB=∠PMC=90°． ∵PG是BC的垂直平分线，∴PB=PC． ??PFB??PMC?在△PBF和△PCM中，??BPF??CPM， ?PB?PC?∴△PBF≌△PCM（AAS）， ∴BF=CM； ∵PB=PC， ∴∠PBC=∠PCB=∠BPE． ∵∠PBC=∠A， ∴∠A=∠BPE． ∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°， ∴∠AEP+∠ADP=180°． 又∠AEP=∠BEF，∠ADP+∠CDM=180°， ∴∠BEF=∠CDM． ??BEF??CDM?在△BEF和△CDM中，??BFE??CMD， ?BF?CM?1212∴△BEF≌△CDM（AAS）． ∴BE=CD． 专题三：等腰三角形性质与判定的综合应用 3. 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，O为AB的中点，现将一个三角板EGF的直角顶点G放在点O处，把△EFG绕点O旋转，EG交直线AC于点K，FG交直线BC于点H． （1）请判断△OHK的形状； （2）求证：BH+AK=AC．

解：（1）△OHK的形状是等腰直角三角形，

理由是：∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，O为AB的中点， ∴∠A=∠B=45°，∠ACG=∠BCG=45°，AO=BO=CO，CO⊥AB， ∴∠BOC=∠KOH=90°，

∴∠BOH=∠HOC=90°-∠AOK，

??B??OCK?在△BOH和△COK中，?BO?CO，

??BOH??COK?∴△BOH≌△COK（ASA）， ∴BH=CK，OH=OK， ∵∠KOH=90°，

即△OHK的形状是等腰直角三角形； （2）证明：∵BH=CK， ∴AC=AK+CK=AK+BH， 即BH+AK=AC．

专题四：等边三角形的性质与判定的综合应用

4. 已知：△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连结CE，DE。求证：EC=ED。

证明：延长BD至F，使DF=BC，连接EF， ∵AE=BD，△ABC为等边三角形， ∴BE=BF，∠B=60°， ∴△BEF为等边三角形，

∴∠F=60°， ∴BE=EF，∠B=∠F=60°，BC=DF， ∴△ECB≌△EDF， ∴EC=ED．

专题五：等腰三角形中常作的辅助线

5. 如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．

专题六：数学思想方法 1.方程思想 6. 如图，已知△ABC的周长为36cm，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ABD的周长为30cm，那么AD的长为______cm．