初中八年级数学上册第二章

注意：定理中的距离是指点到直线的距离，因此在应用时必须含“垂直”这个条件，否则不能直接得到线段的长度相等；

6.如图，已知OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA=2，则PQ的最小值为__2____，理论根据为__角平分线上的点到角两边的距离相等____．

题型一：利用线段的轴对称性求线段长和角的度数

7. 如图所示，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，则AB=______cm，AC=______cm．

解：∵DE垂直平分BC， ∴DB=DC．

∵AC+AD+DC=14cm， ∴AC+AD+BD=14cm， 即AC+AB=14cm． 又∵AB-AC=2cm，

设AB=xcm，AC=ycm． 根据题意，得

?x?y?14， ?x?y?2?

解得

?x?8 ?y?6?∴AB长为8cm，AC长为6cm． 题型二：利用角的轴对称性求线段长

8．如图所示在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，AB=6厘米，则△DEB的周长是______厘米．

解：∵AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，∠C=90°， ∴CD=DE，DA平分∠EDC． ∴AC=AE，

∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE 又∵BC=AC

∴△DEB的周长=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6厘米． 题型三：线段与角的轴对称性的综合应用

9．如图，OE、OF分别是AB、AC边的垂直平分线，∠OBC、∠OCB的平分线相交于点I，试判断OI与BC的位置关系，并给出证明。

题型四：与线段、角有关的推理说明题

10．如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线与点E，且AE=BD，求证：BD是∠ABC的平分线。

12证明：延长AE、BC交于点F． ∵AE⊥BE， ∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°， ∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°， ∴∠DBC=∠FAC，

??ACF??BCD?90??在△ACF和△BCD中，?AC?BC

??FAC??DBC?∴△ACF≌△BCD（ASA）， ∴AF=BD．

121∴AE=AF

2又AE=BD，

∴AE=EF，

?AE?EF?在△ABE和△FBE中，??AEB??FEB?90?，

?BE?BE?∴△ABE≌△FBE

∴∠ABE=∠FBE

∴BD是∠ABC的角平分线．

题型五：线段、角的轴对称性在生活中的应用

11． 在“V”形公路（∠AOB）内部，有两个村庄C和D，现要建一个果品加工厂，使其到“V”形公路的距离相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样，你认为能否做到？如果能，指出果品加工厂的位置，并说明理由；如果不能，也请说明理由．

解：能．它在∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点处（如图中的P点）．要到角两边的距离相等，它在该角的平分线上．因为角平分线上的点到角两边的距离相等；要到C、D两村的距离相等，它应在该线段的垂直平分线上．因为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以它在∠AOB的平分线与线段CD的垂直平分线的交点处．

2.5 等腰三角形的轴对称性

知识点一：等腰三角形的性质

1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数。

解：设∠B=x

∵AB=AC，BD=AD

∴∠C=∠B=x，∠BAD=∠B=x ∴∠CDA=∠B+∠BAD=2x ∵DC=AC

∴∠CAD=∠CDA=2x ∵∠BAC+∠B+∠C=180° ∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=5x ∴5x=180，x=36° ∴∠B=36°

2．如图所示，屋架的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC，求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．

解：∵AB=AC ∴∠B=∠C

∵∠BAD=100度 ∴∠B=∠C=40度 ∵AD⊥BC

∴∠BAD=∠CAD

∴∠BAD=∠CAD=50度 知识解读：（1）等腰三角形的两底角相等；（2）等腰三角形地边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”） 知识点二：等腰三角形的判定

3．如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°， （1）求∠1、∠2的度数；

（2）图中哪些三角形是等腰三角形？

解：（1）∵∠C=36°,∠B=72° ∴∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-36°-72°=72° ∵∠BAD=36°

∴∠1=∠BAC-∠BAD=72°-36°=36° ∠2=180°-∠B-∠BAD=180°-72°-36°=72°

（2）等腰三角形：△ABC、△ACD、△ABD

4．如图所示，已知BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，求证：△BED是等腰三角形。