专题2.2.1-2 向量加法、减法运算及其几何意义重难点题型(举一反三)(解析版)

【点睛】本题考查向量的基本运算，考查计算能力．

【变式3-1】如图所示，在四边形ABCD中，AC?AB?AD，对角线AC与BD交于点O，设OA?a，OB?b，用a和b表示AB和AD．

【分析】由题意得AB?AO?OB??OA?OB?b?a，由AC?AB?AD可得四边形ABCD是平行四边形，从而求得AD?AO?OD??(b?a)． 【答案】解：

OA?a，OB?b，

?AB?AO?OB??OA?OB?b?a，

AC?AB?AD，

?四边形ABCD是平行四边形，

?OB??OD?b，

?AD?AO?OD??(b?a)．

【点睛】本题考查了平面向量的加法及其几何意义的应用．

【变式3-2】如图所示，已知OA?a，OB?b，OC?c，OD?d，OF?f，试用a，b，c，d，f表示下列向量． （1）AC； （2）AD； （3）AD?AB； （4）AB?CF； （5）BF?BD．

【分析】利用平面向量线性运算的三角形法则进行表示． 【答案】解：（1）AC?OC?OA?c?a； （2）AD?OD?OA?d?a；

（3）AD?AB?BD?OD?OB?d?b；

（4）AB?CF?OB?OA?OF?OC?b?a?f?c； （5）BF?BD?DF?OF?OD?f?d．

【点睛】本题考查了平面向量线性运算的三角形法则，属于基础题． 【变式3-3】向量a，b，c，d，e如图所示，解答下列各题： （1）用a，d，e表示DB； （2）用b，c表示DB； （3）用a，b，e表示EC； （4）用d，c表示EC．

【分析】利用平面向量加法的三角形法则及相反向量求解即可． 【答案】解：（1）DB?DE?EA?AB?d?e?a； （2）DB?DC?CB??c?b； （3）EC?EA?AB?BC?e?a?b；

（4）EC?ED?DC??d?c．

【点睛】本题考查了平面向量加法的三角形法则及相反向量，加法比减法更简单一些． 【考点4 向量的加减法的几何意义】

【例4】（2019春?水富县校级期中）已知O是四边形ABCD所在平面上任一点，AB//CD且|OA?OB|?|OC?OD|则四边形ABCD一定为( )

A．菱形 B．任意四边形 C．平行四边形 D．矩形

【分析】根据OA?OB?OC?OD和AB//CD可得AB//CD且AB?CD即可判断该四边形． 【答案】解：由OA?OB?OC?OD得|AB|?|CD|， 又AB//CD所以AB//CD且AB?CD，

?四边形ABCD为平行四边形．

故选：C．

【点睛】本题考查了平面向量的运算性质和向量的平行，属基础题．

【变式4-1】（2019秋?沧州期末）O为四边形ABCD所在平面内任意一点，若OA?OC?OB?OD，则四边形ABCD为( ) A．平行四边形

B．矩形

C．菱形

D．正方形

【分析】根据OA?OC?OB?OD即可得出BA?CD，从而得出四边形ABCD为平行四边形． 【答案】解：

OA?OC?OB?OD；

?OA?OB?OD?OC；

?BA?CD；

?BA//CD，且BA?CD；

?四边形ABCD为平行四边形．

故选：A．

【点睛】考查向量减法的几何意义，相等向量的概念，以及平行四边形的定义． 【变式4-2】（2019?海淀区一模）在?ABC上，点D满足AD?2AB?AC，则( ) A．点D不在直线BC上 C．点D在线段BC上

B．点D在BC的延长线上 D．点D在CB的延长线上

【分析】据条件，容易得出AD?AB?CB，可作出图形，并作BD??CB，并连接AD?，这样便可说明点D和点D?重合，从而得出点D在CB的延长线上．

【答案】解：AD?2AB?AC ?AB?AB?AC ?AB?CB；

如图，

作BD??CB，连接AD?，则： AB?CB?AB?BD??AD??AD；

?D?和D重合；

?点D在CB的延长线上．

故选：D．

【点睛】考查向量减法的几何意义，向量的几何意义，相等向量的概念，以及向量加法的三角形法则． 【变式4-3】（2019秋?昌平区期末）在平行四边形ABCD中，若|AB?AD|?|AB?AD|，则平行四边形ABCD是( ) A．矩形

B．梯形

C．正方形

D．菱形

【分析】根据向量的基本运算，利用平方法进行判断即可．

【答案】解：由|AB?AD|?|AB?AD|，平方得AB?2ABAD?AD?AB?2ABAD?AD， 得得ABAD?0，即得AB?AD， 则平行四边形ABCD是矩形， 故选：A．

【点睛】本题主要考查平行四边形的形状的判断，根据向量的基本运算，是解决本题的关键． 【考点5 利用向量的加减法证明几何问题】

【例5】P，Q是三角形ABC边BC上两点，且BP?QC，求证：AB?AC?AP?AQ．

【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的加法与减法的几何意义，即可得出结论． 【答案】证明：P，Q是三角形ABC边BC上两点，且BP?QC，如图所示；

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