专题2.2.1-2 向量加法、减法运算及其几何意义重难点题型(举一反三)(解析版)

专题2.2.1-2向量加法、减法运算及其几何意义重难点题型【举一反三

系列】

【知识点1 向量加法的三角形法则与平行四边形法则】 1.向量加法的概念及三角形法则

已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB?a,BC?b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记作a?b，即a?b?AB?BC?AC．如图

本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2．向量加法的平行四边形法则

已知两个不共线向量a,b，作AB?a,AD?b，则A,B,D三点不共线，以AB,AD为邻边作平行四边形

ABCD，则对角线AC?a?b．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

对于零向量与任一向量a，我们规定a?0?0?a?a．

两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点. 【知识点2 向量求和的多边形法则及加法运算律】 1.向量求和的多边形法则的概念

已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．

A1An?A1A2?A2A3?????An?1An

特别地，当A1与An重合，即一个图形为封闭图形时，有A1A2?A2A3?????An?1An?AnA1?0 2．向量加法的运算律 （1）交换律：a?b?b?a； （2）结合律：(a?b)?c?a?(b?c) 【知识点3 向量的减法】 1．向量的减法

（1）如果b?x?a，则向量x叫做a与b的差，记作a?b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．

相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量．

（2）向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a?b?a?(?b)．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 2．向量减法的作图方法

（1）已知向量a，b，作OA?a,OB?b，则BA?a?b=OA?OB,即向量BA等于终点向量（OA）减去起点向量（OB）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．

（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出a?b．作OA?a,OB?b,AC??b，则

OC?a?(?b)，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．

【考点1 向量的加减法运算】 【例1】化简：

（1）AB?AC?BD?CD； （2）AB?MB?BO?OM； （3）MB?AC?BM； （4）OA?OC?BO?CO．

【分析】根据向量加法、减法的几何意义，用有向线段的起点和终点表示向量，以及相反向量的概念进行向量的加法和减法的运算从而化简每个式子即可． 【答案】解：（1）AB?AC?BD?CD?CB?BD?DC?0； （2）AB?MB?BO?OM?AB?MB?BM?AB； （3）MB?AC?BM?MB?BM?AC?AC；

（4）OA?OC?BO?CO?BO?OA?OC?CO?MA?0?MA

【点睛】考查向量、向量加法，以及向量减法的几何意义，相反向量和零向量的概念． 【变式1-1】化简： （1）AB?DC?BD?AC； （2）OA?OD?AD； （3）MN?MP?NQ?QP； （4）AB?AD?DC．

【分析】利用向量三角形法则及其交钱加法减法法则即可得出．

【答案】解：（1）AB?DC?BD?AC?AB?BC?AC?AC?AC?0； （2）OA?OD?AD?DA?AD?0； （3）MN?MP?NQ?QP?PN?NP?0； （4）AB?AD?DC?DB?DC?CB．

【点睛】本题考查了向量三角形法则及其交钱加法减法法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式1-2】化简下列各式： （1）?OA?OB?OC?CO； （2）(AB?CD)?(BC?AD)．

【分析】使用向量加减混合运算的法则进行计算．

【答案】解：（1）)?OA?OB?OC?CO?(OB?OA)?(CO?CO)?AB．

（2）)(AB?CD)?(BC?AD)?AB?CD?BC?AD?AB?BC?CD?AD?AD?AD?0． 【点睛】本题考查了平面向量的加减混合运算，属于基础题． 【变式1-3】化简： （1）AB?BC?CA （2）(AB?MB)?BO?OM （3）OA?OC?BO?CO （4）AB?AC?BD?CD （5）OA?OD?AD （6）AB?AD?DC （7）NQ?QP?MN?MP．

【分析】根据平面向量的加法与减法的运算法则，对每一个小题进行化简计算即可． 【答案】解：（1）AB?BC?CA?AC?CA?AC?AC?0；

（2）(AB?MB)?BO?OM?AB?(MB?BO)?OM?AB?MO?MO?AB； （3）OA?OC?BO?CO?(OA?OB)?(OC?OC)?BA?0?BA； （4）AB?AC?BD?CD?(AB?AC)?(BD?DC)?CB?BC?0； （5）OA?OD?AD?(OA?OD)?AD?DA?AD?DA?DA?0；