拉格朗日插值法课程设计

Rn(x)?Mn?1?n?1(x). (n?1)! 当n?1时，线性插值余项为

11R1(x)?f''(?)?2(x)?f''(?)(x?x0)(x?x1),??[x0,x1];

22 当n?2时，抛物线插值的余项为

1R2(x)?f'''(?)(x?x0)(x?x1)(x?x2),??[x0,x2].

6 利用余项表达式（1.6），当f(x)?xk(k?n)时，由于f(n?1)(x?0)，于是有

Rn(x)?x??xikli(x)?0,

ki?0n由此得

?xl(x)?xkiii?0nk,k?0,1,...,n. （1.7）

特别当k?0时，有

?li(x)?1. （1.8）

i?0n（1.7）式和（1.8）式也是插值基函数的性质，利用它们还可求一些和式的值.

??? 例1 已知函数表sin=0.5000,sin=0.7071,sin=0.8660,分别由线性插值与

6432?抛物插值求sin的数值解，并由余项公式估计计算结果的精度.

9 解（1）这里有三个节点，线性插值需要两个节点，根据余项公式，我们选取前两个节点，易知：

2?2?0.7071?0.50002??sin)=0.5000+(-) ?L1(

??9996?462 =0.5000+0.2071?=0.6381

3 截断误差，

R1(2?1??(sinx)??2??2??)=(?)(?)????7.615?10?3， 92183629694 得??7.615?10?3?0.5?10?1.知结果至少有1位有效数字. （2）易知

6

2??2?3?2??2??-)(-)（?）（?）2?2?93?0.7071+ sin?L2()?9493?0.5000?96????????99(-)(-)（?）（?）646346432??2??（?）（?）12894?0.866= 960??0.7071??0.8660=0.6434 .

????99?0.50009（?）（?）3634截断误差为：

(R2(1???2?(sinx)???2??2??2??)?(?)(?)(?)?????0..861?10?2 96969494x??618369得??8.861?10?4?0.5?10?2.知结果至少有两位数字. 比较本题精确解sin

2??0.642787609...,实际误差限分别为0.0047和0.00062. 9

7

第二章 拉格朗日插值法的程序设计及应用

§2.1 拉格朗日插值法的Matlab实现

实现Lagrange插值的步骤如下：

Step1 定义函数f = 1．/(25*x^2+1)将其保存在f．m 文件中，具体程序如下： function y = f1(x) y = 1．/(25x．^2+1);

Step2 定义拉格朗日插值函数,将其保存在lagrange．m 文件中，具体实现程序

编程见附录A.

在Matlab中，利用Lagrange插值方法进行多项式插值，并将图形显式出来．

Step3 建立测试程序，保存在text．M文件中，实现画图： x=-1:0.001:1; y=(1+25.*x.^2).^-1; p=polyfit(x,y,n); py=vpa(poly2sym(p),10); plot_x=-1:0.001:1; f1=polyval(p,plot_x); figure

plot(x,y,'r',plot_x,f1) 输入n=6时，出现如下面的图2.1所示．

图2.1 Largange插值图像

8

通过图2.1可以看出当n=6时，被插图像与插值图像没有很好的模拟，于是重新运行text．M，并选择n=15，运行,显示如图2.2所示．

图2.2 Largange插值图像

综合图2.1和图2.2的Lagrange插值图像可以看出，n=15时的被插图像与插值图像实现了很好的模拟． 结果分析：

由图2.1和图2.2可以看出n的次数越高，越能实现较好的模拟，从而模拟的效果越好，从图2.2就可以看出两条曲线接近重合，而图一两条直线却分开很多，误差较大，精度也不高．因此在实际的应用中应该尽量在给定的条件下增加n的次数，才能实现与原函数较好的重合，才能使计算的结果更加的准确，从而减小了误差.

§2.2 拉格朗日插值法的C语言实现

在Visual C++中，用C语言实现拉格朗日插值.

§2.2.1 流程图

要用C语言实现拉格朗日插值，先画出流程图. 程序流程图：

9