2013年中考数学分类专题之反比例函数综合题

2013年中考数学分类专题之反比例函数综合题

一．选择题 12．（2013重庆市）如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数

（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，

垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，）． 其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 考点：反比例函数综合题．

D．4

分析：根据反比例函数的比例系数的几何意义得到S△ONC=S△OAM=k，即OC?NC=OA?AM，而OC=OA，则NC=AM，在根据“SAS”可判断△OCN≌△OAM；根据全等的性质得到ON=OM，由于k的值不能确定，则∠MON的值不能确定，所以确定△ONM为等边三角形，则ON≠MN；根据S△OND=S△OAM=k和S△OND+S=S△OAM+S△OMN，即可得到S四边形DAMN=S△OMN；作NE⊥OM于E点，则△ONE为等腰直角三角形，设NE=x，则OM=ON=x，EM=x﹣x=（﹣1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理可求出

四边形DAMN

x=2+

2

，所以ON=（

2

x）=4+2

2

，易得△BMN为等腰直角三角形，得到BN=MN=，设正方

形ABCO的边长为a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值为解答：解：∵点M、N都在y=的图象上， ∴S△ONC=S△OAM=k，即OC?NC=OA?AM， ∵四边形ABCO为正方形，

∴OC=OA，∠ONC=∠OAM=90°， ∴NC=AM，

∴△OCN≌△OAM，所以①正确； ∴ON=OM，

∵k的值不能确定，

∴∠MON的值不能确定，

∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形， ∴ON≠MN，所以②错误； ∵S△OND=S△OAM=k，

而S△OND+S四边形DAMN=S△OAM+S△OMN，

∴四边形DAMN与△MON面积相等，所以③正确；

+1，从而得到C点坐标为（0，+1）．

作NE⊥OM于E点，如图， ∵∠MON=45°，

∴△ONE为等腰直角三角形， ∴NE=OE，

设NE=x，则ON=x， ∴OM=x，

∴EM=x﹣x=（﹣1）x， 在Rt△NEM中，MN=2，

22222

∵MN=NE+EM，即2=x+[（2

∴x=2+，

22

∴ON=（x）=4+2， ∵CN=AM，CB=AB， ∴BN=BM，

∴△BMN为等腰直角三角形， ∴BN=

MN=

，

﹣1）x]，

2

设正方形ABCO的边长为a，则OC=a，CN=a﹣，

222

在Rt△OCN中，∵OC+CN=ON， 22

∴a+（a﹣）=4+2，解得a1=+1，a2=﹣1（舍去）， ∴OC=+1，

∴C点坐标为（0，+1），所以④正确． 故选C．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．

10．（2013乐山）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=的图象上，且OA⊥OB，cosA=

，则k的值为（ ）

A．﹣3 B．﹣6 C．﹣ D．﹣2 考点：反比例函数综合题．

分析：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，由OA与OB垂直，再利用邻补角定义得到一对角互余，再

由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF与三角形OEA相似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根据cos∠BAO的值，设出AB与OA，利用勾股定理表示出OB，求出OB与OA的比值，即为相似比，根据面积之比等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A在反比例函数y=上，利用反比例函数比例系数的几何意义求出三角形AOE的面积，进而确定出BOF的面积，再利用k的集合意义即可求出k的值．

解答：解：过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°，

∴∠BOF+∠EOA=90°， ∵∠BOF+∠FBO=90°， ∴∠EOA=∠FBO， ∵∠BFO=∠OEA=90°， ∴△BFO∽△OEA， 在Rt△AOB中，cos∠BAO=

=

，

，

设AB=，则OA=1，根据勾股定理得：BO=∴OB：OA=：1， ∴S△BFO：S△OEA=2：1， ∵A在反比例函数y=上， ∴S△OEA=1， ∴S△BFO=2， 则k=﹣4． 故选B

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．

12．（2013威海）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数点A，反比例函数

的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（ ）

的图象经过

A．m=﹣3n B．m=﹣考点：反比例函数综合题．

n C．m=﹣n D．m=n

分析：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，），证明△BOE∽△OAF，利用对应边成比例可求出m、n的关系． 解答：解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，

设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，）， ∵∠OAB=30°， ∴OA=OB，

设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，）， 则OE=﹣a，BE=，OF=b，AF=， ∵∠BOE+∠OBE=90°，∠AOF+∠BOE=90°， ∴∠OBE=∠AOF，

又∵∠BEO=∠OFA=90°， ∴△BOE∽△OAF，

∴==，即==，

解得：m=﹣ab，n=，

故可得：m=﹣3n． 故选A．

点评：本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是结合解析式设出点A、B的坐标，得出OE、BE、OF、AF的长度表达式，利用相似三角形的性质建立m、n之间的关系式，难度较大．

13．（2013临沂）如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线OB边的中点C，则点B的坐标是（ ）

在第一象限内的图象经过