当前位置：首页 > 高中数学选修4-5《不等式选讲》综合检测1
综合检测(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
41
1．设xy>0，则(x2＋2)(y2＋2)的最小值为( )
yx
A．－9 B．9 C．10 D．0 21122
【解析】 [x2＋()2][()2＋y2]≥(x·＋·y)＝9. 选 B
yxxy
1111
2．用数学归纳法证明不等式1＋3＋3＋?＋3<2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等
23nn式( )
1111111111
A．1＋3<2－ B．1＋3＋3<2－C．1＋3<2－ D．1＋3＋3<2－
222332323411
【解析】 ∵n≥2，第一步应是n＝2时，1＋3<2－. 选 A
22
3．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为( )
451616164545
A．[0，] B．[－，] C．[0，] D．[－，]
555555【解析】 ∵4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，
即4(16－e2)≥(8－e)2， 64－4e2≥64－16e＋e2，即5e2－16e≤0， ∴e(5e－16)≤0，故0≤e≤
16
. 选 C 5
4．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品，则至少要花________元．( )
A．300 B．360 C．320 D．340
【解析】 由排序原理，逆序和最小．∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元)． 选 C 4
5．函数y＝2－9x－(x>0)的最大值是( )
x
A．－10 B．10 C．－11 D．11 4
【解析】 y＝2－(9x＋)≤2－236＝－10. 选 A
x
111－－
6．用数学归纳法证明“对于任意x>0的正整数n，都有xn＋xn2＋xn4＋?＋n－4＋n－2＋nxxx≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为( )
A．n0＝1 B．n0＝2 C．n0＝1,2 D．以上答案均不正确 【解析】 n∈N＋，n的最小值为n0＝1. 选 A
7．若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是( )
11
A．21 B. C．16 D. 2116
1
【解析】 ∵1＝x＋2y＋4z≤x2＋y2＋z2·1＋4＋16，∴x2＋y2＋z2≥，即x2＋y2＋z2的最
211
小值为. 选 B
21
1111
8．设S(n)＝＋＋＋?＋2，则( )
nn＋1n＋2n
11
A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋ 23111
B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
234111
C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋ 234111
D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
234
111
【解析】 S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋. 选 D
234
22
9．若A＝x1＋x22＋?＋xn，B＝x1x2＋x2x3＋?＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，?，xn都是正数，
则A与B的大小关系为( )
A．A>B B．A
22【解析】 不论x1，x2，?xn的大小顺序如何变化，其中A＝x21＋x2＋?＋xn一定是顺序和，
∴A≥B. 选 C
a1＋a2＋?＋ann10．设a1，a2，?，an为正实数，P＝，Q＝，则P、Q间的
n111
＋＋?＋a1a2an大小关系为( )
A．P>Q B．P≥Q C．P 【解析】 ∵(a1＋a2＋?＋an)(a1＋a2＋?＋an)≥ ∴ a1＋a2＋?＋ann ≥即P≥Q. 选 B n111 ＋＋?＋a1a2an 2 ＝n， 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中的横线上) 1111n 11．证明1＋＋＋＋?＋n>(n∈N＋)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左边增加 2342－12的项数是__________． 【解析】 左边增加的项数为2k1－1－2k＋1＝2k. 【答案】 2k ＋ 1111 12．已知数列，，，?，，?，则S1，S2，S3，S4的值分别是 1×44×77×10?3n－2??3n＋1?__________，根据计算结果，猜想Sn＝__________. 1112213314n 【解析】 S1＝，S2＝＋＝，S3＝＋＝，S4＝＋＝，猜想Sn＝. 4428777×10101010×13133n＋11234n 【答案】 ，，， 4710133n＋113．函数y＝(1＋ 11π)(1＋)(0＜α＜)的最小值是________． sin αcos α2 12212112 )][1＋()]≥(1×1＋·)＝(1sin αcos αsin αcos α 【解析】 由柯西不等式，得y＝[12＋(＋ 22 )≥(1＋2)2＝3＋22. sin 2α当且仅当 11π ＝ ， 即α＝时等号成立．【答案】 3＋22 4cos αsin α x1x2xn14．设x1，x2，?xn取不同的正整数，则m＝2＋2＋?＋2的最小值是________． 12n【解析】 设a1，a2，?，an是x1，x2，?，xn的一个排列，且满足a1 故a1≥1，a2≥2，?，an≥n. 又因为1>2>2>?>2， 23n x1x2x3xna2a3an1111 所以＋2＋2＋?＋2≥a1＋2＋2＋?＋2≥1×1＋2×2＋3×2＋?＋n× ＝1＋＋123n23n23n211111＋?＋. 【答案】 1＋＋＋?＋ 3n23n 15．(2013·湖北高考)设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，则x＋y＋z＝________. 【解析】 由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋yz14143z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤14.因为x＋2y＋3z＝14，所以x＝＝，解得x＝，y＝， 23147314314314 z＝，于是x＋y＋z＝. 【答案】 1477 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知a，b，c∈R＋，比较a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小． 【解】 取两组数a，b，c与a2，b2，c2，不管a，b，c的大小顺序如何，显然a3＋b3 ＋c3是顺序和，a2b＋b2c＋c2a是乱序和， 因为顺序和≥乱序和， 所以a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a. 17．(本小题满分12分)设x2＋2y2＝1，求u(x，y)＝x＋2y的最小值． 【解】 由柯西不等式，有|u(x，y)|＝|1·x＋2·2y|≤1＋2·x2＋2y2＝3. 得umax＝3，umin＝－3. 分别在( 3333，)，(－，－)时达到． 3333 31 18．(本小题满分12分)当x≥0时，试证明xx－x≥－. 22 3131331 【证明】 要证明xx－x≥－，只要证明xx≥x－，即x≥x－. 2222222由x≥0有x－1≥－1， 33331 所以由贝努利不等式可得[1＋(x－1)]≥1＋(x－1)，因此x≥x－， 2222231 ∴原不等式xx－x≥－成立． 22 1111n－2 19．(本小题满分13分)求证：＋＋＋?＋n－1>(n≥2)． 23422 1 【证明】 (1)当n＝2时，>0，不等式成立． 2 11111k－2 (2)假设n＝k(k≥2)时，原不等式成立．即＋＋＋＋?＋k－1>， 234522则当n＝k＋1时， k－2111111111 左边＋＋＋?＋k－1＋k－1＋k－1＋?＋k－1＋k－1＋k－1k－1>234222＋12＋22＋22＋12＋2 k1 k－211k－1?k＋1?－211k－22 ＋?＋k－1k－1>＋k＋k＋?＋k＝＋k＝＝. 222222222＋2 － ∴当n＝k＋1时，原不等式成立． 由(1)(2)知，原不等式对n≥2的所有的自然数都成立． 1111n－2 故＋＋＋?＋n－1>(n≥2)． 23422 －1＋3an20．(13分)如果数列{an}满足条件：a1＝－4，且an＋1＝(n∈N＋)． 2－an证明：对n∈N＋，都有an＋1>an且an<0. －1＋3a1－1－12－13 【证明】 (1)由于a1＝－4， a2＝＝＝>a1. 62－a12＋4且a1<0，因此，当n＝1时不等式成立． －1＋3ak＋1 (2)假设当n＝k(k≥1)时，ak＋1>ak且ak<0，那么ak＋1＝<0， 2－ak＋1当n＝k＋1时(k≥1)， －1＋3ak＋1－1＋3ak5?ak＋1－ak? ak＋2－ak＋1＝－＝>0. 2－ak＋12－ak?2－ak＋1??2－ak?这就是说，当n＝k＋1时不等式也成立， 根据(1)(2)，不等式对任何正整数n都成立． 因此，对任何正整数n，都有an＋1>an，且an<0. 21．(本小题满分13分)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1. x2y2z21 (1)求证＋＋≥； y＋2zz＋2xx＋2y3(2)求4x＋4y＋4z2的最小值． (1)证明 因为x>0，y>0，z>0，所以由柯西不等式得： x2y2z2 [(y＋2z)＋(z＋2x)＋(x＋2y)](＋＋)≥(x＋y＋z)2， y＋2zz＋2xx＋2y又因为x＋y＋z＝1， ?x＋y＋z?2x2y2z21 所以＋＋≥＝. y＋2zz＋2xx＋2y?y＋2z?＋?z＋2x?＋?x＋2y?33 (2)由均值不等式得4x＋4y＋4z2≥34x＋y＋z2， 因为x＋y＋z＝1， 133 所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝(z－)2＋≥， 244故4x＋4y＋4z2≥3 3 34＝32， 4 11 当且仅当x＝y＝，z＝时等号成立， 42所以4x＋4y＋4z2的最小值为32. 搜索更多关于： 高中数学选修4-5《不等式选讲》综合检测1 的文档
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