立体几何基础题题库251-300

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解析：

平面ABC???AC?平面ABC???EG??AC//EG．同理AC//HF．

? ?//???AC//FG? 故EHFG是平行四边形．??EG//HF．同理EH//FG．AC//HF?298. 如图9-38，已知平面??∥平面??，A、C∈??，B、D∈??，E、F分别为AB、CD的中点．求证：EF∥??，EF∥??．

解析：当AB、CD共面时，平面ABCD∩??=AC，平面ABCD∩??=BD．∵ ??∥??，∴ AC∥BD．∵ E、F分别为AB、CD的中点，∴ EF∥AC．∵ AC

??，EF ??，∴ EF

∥??，同理EF∥??．当AB、CD异面时，∵ E?CD，∴ 可在平面ECD内过点E作

D?．C?D?//CD，与??，??分别交于C?，平面AC?BD????AC?，平面AC?BD????BD?，

∵ ??∥??，∴ AC?//BD?．∵ E是AB中点，∴ E也是C?D?的中点．平面

CC?D?D???CC?，平面CC?D?D???DD?，∵ ??∥??，∴ CC?//DD?，∵ E、F

分别为C?D?、CD中点，∴ EF//CC?，EF//DD?．∵ CC???，EF ??，∴ EF

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∥??，同理EF∥??．

299. 已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F

(1)求证：AF⊥SC

(2)若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD

解析： 如图，欲证AF⊥SC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC⊥平面AEF，由已知，欲证SC⊥平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE⊥平面ABC，再由已知只需证AE⊥BC，而要证AE⊥BC，只需证BC⊥平面SAB，而这可由已知得证 证明 (1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，∴SA⊥BC ∵矩形ABCD，∴AB⊥BC ∴BC⊥平面SAB

∴BC⊥AE又SB⊥AE ∴AE⊥平面SBC ∴SC⊥平面AEF ∴AF⊥SC

(2)∵SA⊥平面AC ∴SA⊥DC，又AD⊥DC ∴DC⊥平面SAD ∴DC⊥AG

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又由(1)有SC⊥平面AEF，AG?平面AEF ∴SC⊥AG ∴AG⊥平面SDC ∴AG⊥SD

300. 已知四面体A—BCD，AO1⊥平面BCD，且O1为ΔBCD的垂心.BO2⊥平面ACD，求证：O2是ΔACD的垂心.

证明 如图所示，连结BO1，AO2， ∵AO1⊥平面BCD，O1为ΔBCD的垂心， ∴BO1⊥CD，由三垂线定理得AB⊥CD.

又BO2⊥平面ACD，由三垂线逆定理得AO2⊥CD. 同理连结DO1，CO2可证BC⊥AD，即CO2⊥AD. ∴O2是ΔACD垂心.

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