2019届高考理科数学一轮复习精品学案：第13讲 变化率与导数、导数的运算（含解析）

而0

3.[2017·浙江卷改编] 已知函数f(x)=(x-)e

-xx≥,求f(x)的导函数.

解:因为(x-)'=1-,(e)'=-e,

-x-x所以f'(x)=e-(x--x)·e=x-x.

4.[2017·北京卷改编] 已知函数f(x)=ecos x-x,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.

解:因为f(x)=ecos x-x,所以f'(x)=e(cos x-sin x)-1,f'(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.

xx5.[2017·山东卷改编] 已知函数f(x)=x-ax,a∈R.当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程. 解:由题意f'(x)=x-ax,

所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x-2x, 所以f'(3)=3,

因此曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3), 即3x-y-9=0. 【课前双基巩固】 知识聚焦

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1.(1)平均 斜率 平均 (2)x=x0 斜率 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0) 瞬时 速度

2.nx cos x -sin x aln a n-1x f'(x)±g'(x) f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)

y'u·u'x

对点演练

1.0.16 dm/L [解析] 易知r(V)=,故气球中空气的体积从1 L增加到2 L时,气球半径

r的平均变化率为≈0.16(dm/L).

2.1321 元/吨 [解析] c'(x)=,代入x=98计算可得.

3.πcos(πx+φ) [解析] y'=πcos(πx+φ).

4.2 [解析] y'=x'e+xe·(x-1)'=(x+1)e,所以y'|x=1=2,即曲线在点(1,1)处的切线的斜率为2.

x-1

x-1

x-1

5.3 4 [解析] 函数f(x)=x在区间[1,2]上的平均变化率为

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=3.因为f'(x)=2x,所以

f(x)在x=2处的导数为2×2=4.

6.2cos 2x [解析] 方法一:y'=(2sin xcos x)'=2(sin x)'cos x+2sin x(cos x)'=2cos2x-2sin2x=2cos 2x. 方法二:y'=cos 2x·(2x)'=2cos 2x.

7.-8 [解析] 因为f'(x)=2x+3f'(2),令x=2,得f'(2)=-2,所以f(x)=x-6x,所以f(2)=-8. 8.3(2x+3) 6(2x+3) [解析] f'(x)=3x,所以

f'(2x+3)=3(2x+3)2,[f(2x+3)]'=[(2x+3)3]'=3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2. 【课堂考点探究】

例1 [思路点拨] (1)先求导,在导函数中令x=2得f'(2)的值;(2)先将函数化简,再求导.

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(1)B (2) [解析] (1)∵f(x)=x+3xf'(2)-ln x,∴f'(x)=2x+3f'(2)-,令x=2,得

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f'(2)=4+3f'(2)-,解得f'(2)=-.故选B.

(2)f(x)=-sin =sin ·2cos2-1=sin ·cos =sin x,所以

f'(x)='=cos x,于是f'=cos =.

变式题 (1) (2)26 [解析] (1)∵y=2

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,∴y'=2

=.

(2)f(x)=(x+1)(x+2)(x+a)=(x+3x+2)(x+a)=x+(a+3)x+(3a+2)x+2a, 所以f'(x)=3x+2(a+3)x+3a+2,

所以f'(-1)=3×(-1)+2(a+3)×(-1)+3a+2=2,解得a=3,所以f'(x)=3x+12x+11, 所以f'(1)=3×1+12×1+11=26.

例2 [思路点拨] 先利用导数求出在x=0处的导数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,从而问题解决.

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y=x [解析] ∵f(x)=ex·sin x,∴f'(x)=ex(sin x+cos x),f'(0)=1,f(0)=0,∴函数f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程为y-0=1×(x-0),即y=x.

例3 [思路点拨] 对函数f(x)求导,由f'(x)是奇函数得a的值,令f'(x0)=得切点横坐标. A [解析] 对f(x)=e+a·e求导得f'(x)=e-ae,又f'(x)是奇函数,故f'(0)=1-a=0,解得

x-xx-xa=1,故f'(x)=ex-e-x.设切点坐标为(x0,y0),则f'(x0)=x0=ln 2.

-=,得=2或=-(舍去),得

例4 [思路点拨] 求出函数的导数,结合两直线垂直的条件,即斜率之积为-1,可得

b-a=+(-a-1)(a+1<0),运用基本不等式即可得到所求最小值.

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A [解析] 由题意可得曲线y=x+2x上存在两点处的切线互相垂直,由y=x+2x的导数为

y'=2x+2,可得(2a+2)(2b+2)=-1,由a+1

≥2小值为1.

=2×=1,当且仅当=(-a-1),即a=-,b=-时等号成立,所以b-a的最

强化演练

1.B [解析] 因为点(0,-1)不在曲线y=f(x)上,所以设切点坐标为(x0,y0).又因为

f'(x)=1+ln x,所以 解得所以切点坐标为(1,0),所以

f'(1)=1+ln 1=1,所以直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.

2.C [解析] 依题意知,y'=3x+a,则

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解得所以2a+b=1,选C.

3.B [解析] ∵f(x)=aln x+x,∴f'(x)=+1,∴f'(a)=+1=2.∵f(a)=aln a+a,∴曲线y=f(x)在x=a处的切线方程为y-aln a-a=2(x-a),∵f(x)=aln x+x的图像在x=a处的切线过原点,∴-aln a-a=-2a,解得a=e.

4.(e,e) [解析] 由题意得y'=ln x+x·=1+ln x,直线2x-y+1=0的斜率为2.设P(m,n),则1+ln m=2,解得m=e,所以n=eln e=e,即点P的坐标为(e,e).

5. [解析] f'(x)=e+xe=e(x+1),∴切线斜率k=f'(1)=2e,∴曲线y=f(x)在(1,e)处的切

xxx线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.∵y=2ex-e与坐标轴交于点(0, -e),,0,∴y=2ex-e

与坐标轴围成的三角形面积S=×e×=.

【备选理由】例1考查的是曲线过某点的切线方程问题,此点可能是切点也可能不是切点,注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别;例2考查两个曲线的切线问题,具有综合性.

1 [配合例2使用] 曲线y=x过点4,[答案] 14x-4y-49=0或2x-4y-1=0

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的切线方程为 .

[解析] 易知点4,不在曲线y=x上,所以设所求切线与曲线相切于点Px0,

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.易知

y'=x,则y'=x0.故 = x0,整理得-8x0+7=0,解得x0=7或x0=1,∴点P7,或

P1,,由两点式得切线方程为14x-4y-49=0或2x-4y-1=0.

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2 [配合例4使用] 设函数y=x-2x+2的图像为C1,函数y=-x+ax+b的图像为C2.已知过C1与C2的一个交点的两条切线互相垂直,求a,b之间的关系. 解:对C1的方程y=x-2x+2求导,有y'=2x-2. 对C2的方程y=-x+ax+b求导,有y'=-2x+a. 设C1与C2的一个交点坐标为(x0,y0). 由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直, 则(2x0-2)(-2x0+a)=-1,即4-2(a+2)x0+2a-1=0①.

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又点(x0,y0)在C1与C2上,故有?2-(a+2)x0+2-b=0②.

联立①②,消去x0,得a+b=.