人教A版22019高中数学选修2-3教学案：2.1.1 离散型随机变量_含解析

2．1．1 离散型随机变量

预习课本P44～45，思考并完成以下问题

1．随机变量和离散型随机变量的概念是什么？随机变量是如何表示的？

2．随机变量与函数的关系？

[新知初探]

1．随机变量

(1)定义：在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． (2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示． 2．离散型随机变量

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． 3．随机变量和函数的关系

随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数，函数把实数映射为实数．在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( ) (2)手机电池的使用寿命X是离数型随机变量．( ) 答案：(1)√ (2)×

2．下列变量中，是离散型随机变量的是( ) A．到2016年5月1日止，我国被确诊的爱滋病人数 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 答案：D

3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中无放回的条件下每次任意取出一个

球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )

A．1,2，…，6 C．1,2，…，11 答案：B

4．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．

答案：300, 100, －100, －300

随机变量的概念

[典例] (1)抛掷一枚均匀硬币一次，随机变量为( ) A．抛掷硬币的次数 B．出现正面的次数 C．出现正面或反面的次数 D．出现正面和反面的次数之和

(2)6件产品中有2件次品，4件正品，从中任取1件，则可以作为随机变量的是( ) A．取到的产品个数 C．取到正品的概率

B．取到的正品个数 D．取到次品的概率 B．1,2，…，7 D．1,2,3，…

[解] (1)抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或反面向上．以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1，故选B．而A项中抛掷次数就是1，不是随机变量；C项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量．

(2)由随机变量的定义知，随机变量是随机试验的结果，排除C、D项，又取到的产品个数是一个确定值，排除A项．故选B项．

[答案] (1)B (2)B

判断一个试验是否是随机试验，依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件，即 (1)试验在相同条件下是否可重复进行；

(2)试验的所有可能的结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个； (3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果． [活学活用]

指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由：

(1)某人射击一次命中的环数；

(2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数； (3)某个人的属相随年龄的变化．

解：(1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．

(2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．

(3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．

离散型随机变量的判定

[典例] 指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．

(1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；

(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X； (3)丁俊晖在2016年世锦赛中每局所得的分数．

[解] (1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出， 是离散型随机变量． (2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量． (3)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．

判断离散型随机变量的方法

(1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化．

(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．

[活学活用]

下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号)． ①广州白云机场候机室中一天的旅客数量X； ②广州某水文站观察到一天中珠江的水位X；

③某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差X； ④虎门大桥一天经过的车辆数X．

解析：①④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量，②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．③中X的取值为某一范围内的实数，无法全部列出，

不是离散型随机变量，故不是离散型随机变量．

答案：②③

用随机变量表示试验的结果 [典例] 写出下列随机变量可能取的值， 并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个， 白球5个， 从袋中每次任取1个球， 取后不放回， 直到取出的球是白球为止， 所需要的取球次数．

(2)从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张， 所取卡片上的数字之和． [解] (1)设所需的取球次数为X, 则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球， 第i次取到白球， 这里i＝1,2,3,4，…，11．

(2)设所取卡片上的数字之和为X, 则X＝3,4,5，…，11． X＝3, 表示“取出标有1,2的两张卡片”； X＝4, 表示“取出标有1,3的两张卡片”； X＝5, 表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”； X＝6, 表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”； X＝7, 表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”； X＝8, 表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”； X＝9, 表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”； X＝10, 表示“取出标有4,6的两张卡片”； X＝11, 表示“取出标有5,6的两张卡片”． [一题多变]

1．[变条件]若本例(2)中条件不变， 所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量ξ， 请问ξ有哪些取值？ 其中ξ＝4表示什么含义？

解：ξ的所有可能取值有：1,2,3,4,5．

ξ＝4表示“取出标有1,5或2,6的两张卡片”．

2．[变条件， 变问法]甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．

解：根据题意可知X的可能取值为4,5,6,7．

X＝4表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局． X＝5表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出． X＝6表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出． X＝7表示在前6局中，两人打平，后一局有1人胜出．

解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点