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因式分解培优题(超全面、详细分类)

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  • 2025/5/1 5:24:06

因式分解专题 培优

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下:

因式分解的一般方法及考虑顺序:

1、基本方法:提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.

2、常用方法与技巧:换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法.

3、考虑顺序:(1)提公因式法;(2)公式法;(3)十字相乘法;(4)分组分解法.

一、运用公式法

在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:

(1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式:

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1),其中n为正整数; (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数; (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例题1 分解因式:

(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7.

第 1 页 共 17 页

例题2 分解因式:a3+b3+c3-3abc.

例题3 分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1.

对应练习题 分解因式:

(1)x2n?xn?121y?;94

(2) x10+x5-2

(3)x4?2x2y2?4xy3?4x3y?y2(4x2?32y)4

(4) (x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5

(5) 9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2

(6) (a-b)2-4(a-b-1)

(7)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1

第 2 页 共 17 页

二、分组分解法

(一)分组后能直接提公因式

例题1 分解因式:am?an?bm?bn

分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键:分组后,每组内可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提.

例题2 分解因式:2ax?10ay?5by?bx

对应练习题 分解因式:

1、a2?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1

(二)分组后能直接运用公式

例题3 分解因式:x2?y2?ax?ay

例题4 分解因式:a2?2ab?b2?c2

对应练习题 分解因式:

3、x?x?9y?3y 4、x?y?z?2yz

第 3 页 共 17 页

22222综合练习题 分解因式:

(1)x?xy?xy?y (2)ax2?bx2?bx?ax?a?b

222(3)x?6xy?9y?16a?8a?1 (4)a2?6ab?12b?9b2?4a

2222(5)a4?2a3?a2?9 (6)4ax?4ay?bx?by

22(7)x?2xy?xz?yz?y (8)a2?2a?b2?2b?2ab?1

(9)y(y?2)?(m?1)(m?1) (10)(a?c)(a?c)?b(b?2a)

a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abc (12)a4?2a3b?3a2b2?2ab3?b4. (11)

(13)(ax?by)2?(ay?bx)2 (14)xyz(x3?y3?z3)?y3z3?z3x3?x3y3

(15)x4?2ax2?x?a2?a (16)x3?3x2?(a?2)x?2a

(17)(x?1)3?(x?3)3?4(3x?5)

第 4 页 共 17 页

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因式分解专题 培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下: 因式分解的一般方法及考虑顺序: 1、基本方法:提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法. 2、常用方法与技巧:换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法. 3、考虑顺序:(1)提公因式法;(2)公式法;(3)十字相乘法;(4)分组分解法. 一、运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3

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