习题1排列组合-2母函数

习题1

1、 基本题：1～9，14，16，19，22～23，29，31 2、 加强题：11～12，17，18，21，28 3、 关联题：10，27，

4、 提高题：13，15，20，24～26，30，32

数构成的整数？

1-1 在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇

（解）问题相当于求在相异元素?1,3,5,7,9?中不重复地取1个、2个、?、4个元素的所有排列数，答案为

P5?P5?P5?P5＝5+20+60+120＝205

1234

(1) 每位的数字全不同；

(2) 每位数字不同且不出现数字2与7。 （解）（1）分类统计：①一位正整数有P?9个；②两位正整数有P?P＝81个；③三位正整数有P?P＝9×9×8＝648个；④千位数小于5的四位数有P?P＝4×9×8×7＝2016个；⑤千位数等于5，百位数小于4的数有1?P?P＝4×8×7＝224个。由乘法法则，满足条件的数的总个数为

1919191929143914281-2 比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？

9＋81＋648＋2016＋224＝2978

（2）仿（1），总个数为

P7＋P7?P7＋P7?P7＋P3?P7＋1?P3?P6

111121312＝7＋49＋294＋630＋150＝1130

不同的方式入座，各有多少种坐法？

(1) 规定某5人总坐在前排，某4人总在后排，但每人具体坐位不指定；

(2) 要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。 （解）

（1）5人在前排就座，其坐法数为 P?8,5?，4人在后排就座，其

1-3 一教室有两排，每排8个坐位，今有14名学生，问按下列

坐法数为 P?8,4?，还空7个坐位，让剩下的14?5?4?5个人入坐，就座方式为 P?7,5?种，由乘法法则，就座方式总数为

P?8,5?P?8,4?P?7,5?＝28 449 792 000 （2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也如此。可分成三种情况分别讨论：①.前排恰好坐6人，入坐方式有??②. 前排恰好坐7人，入坐方式有??人，入坐方式有???14???P?8,6?P?8,8?种；?6??14???P?8,7?P?8,7?种；③前排恰好坐?7?8

?14???P?8,8?P?8,6?种。各类入坐方式互相不同，由加法?8?法则，总的入坐方式总数为

?14??14??14??????＋＋????????P8,6P8,8P8,7P8,7???????P?8,8?P?8,6? 678??????误：先选6人坐前排，再选4人坐后排，剩下的4人坐入余下的6个座位。故总的入坐方式共有

?14??8??????P8,6?????P?8,4?P?6,4? 64????种。但这样计算无疑是有重复的，例如恰好选6人坐前排，其余8人全坐后排，那么上式中的??

至少工作5小时，问共有多少种安排方案？

1-4 一位学者要在一周内安排50个小时的工作时间，而且每天

?8???P?8,4?就有重复。 4??（解）是重复组合问题。（1）每周按7天计算，先要拿出5×7＝35小时平均分配到每一天，再将其余的15小时安排到7天之中，每天的小时数不受限制，则安排方案数为

?7?15?1??21???????????54264 15???15?（2）若每周的工作日按6天计，则问题变成在平均分配完5×6＝30小时后，再将余下的20小时分配到这6天中，但此时每天最多只能分配19小时。或者更一般，每天在5小时外再最多工作ni小时?0?ni?19?，那么，答案是多项式

??1?x?xi?162???xni?＝?ar?0nrx

r中x20的系数a20，其中n?n1?n2???n6。

（3）另外，设每周工作t天?3?t?7?，每天最少工作5小时，最多工作ni小时?5?ni?24?，可以不按照上边的两步分配方法求解，而是直接计算多项式

??xi?1t5?x?x???x67ni?＝?ar?0nrxr?，?n???t?i?1?ni? ??中x50的系数a50，即得答案。

1-5 若某两人拒绝相邻而坐，问12个人围圆桌就坐有多少种方

式？

答 11！－2×10！＝9×10！

1-6 有15名选手，其中5名只能打后卫，8名只能打前锋，2

名能打前锋或后卫，今欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选法？

答

?8??5??2???8??5??8??5????8??5??8??5??8??5?? ????????????????????????????2??????????????????????????????????7??4??1???6??4??7??3????5??4??7??2??6??3??＝40＋2×(140＋80)＋(280＋80＋2×280)＝1 400

1-7 求?x?y?2z?w?展开式中xyzw项前的系数。

22228?答 ???2822?28!22??????1??1?2?1＝?4＝10 ?2?2!?2!?2!?2!080

1-8 求?x?y?z?的展开式。

4（解）由多项式的展开式公式

?x?y?z?4＝

3??ni?4?ni?0?i?1???n?1nn2?n1n2n3?xyzn3??

＝

????4????34040?4??x0??3??xz1?＋＋

????044?4??y0?＋＋＋???????0????0404340?4??z4??3??yz1??22??xz2?2＋＋

????3????1414042?3??xy0??3??xz3??22??yz2?＋＋＋

????14243?3??xy0??22??xy0?????041?3??yz3?＋????2?2＋????04??2????xyz211???＋???1424???2?xyz＋?????xyz1?112??4

3＝

4!4!?0!?0!4!1!?3!?0!4!2!?0!?2!x4＋＋

24!0!?4!?0!4!0!?3!?1!4!0!?2!?2!y＋＋

24!0!?0!?4!4!1!?0!?3!4!z4＋

34!3!?1!?0!4!0!?1!?3!4!xy＋＋

24!3!?0!?1!4!2!?2!?0!xz3＋

2xy3yz3xz＋

yz3xy2＋

2xz2＋

yz2＋

2!?1!?1!xyz2＋

1!?2!?1!xyz＋

4!1!?1!?2!xyz

＝

x

4

＋

22y4＋z4＋4x3y＋4x3z＋4xy3＋4y3z＋4xz3＋4yz3＋

6xy＋6x2z2＋6y2z2＋12x2yz＋12xy2z＋12xyz2

可以验证，系数之和

1×3＋4×6＋6×3＋12×3＝81＝34

36x3x4的系数。 1-9 求?x1?x2?x3?x4?x5?展开式中x210答.

????010316?10!?＝?0!?3!?1!?6!?0!0?＝840

1-10 试证任一正整数n可唯一地表成如下形式：

n＝?aii! ，0≤ai≤i，i?1,2,?

i?11-11 证明 nC(n－1，r)＝（r＋1）C(n，r＋1)。并给出组合意