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课时跟踪检测(三十三) 数列的综合应用
一保高考，全练题型做到高考达标
1．在数列{an}中，a1＝1，数列{an＋1－3an}是首项为9，公比为3的等比数列． (1)求a2，a3；
?an?
(2)求数列?3n?的前n项和Sn.
?
?
解：(1)∵数列{an＋1－3an}是首项为9，公比为3的等比数列， ∴an＋1－3an＝9×3n1＝3n1，
－
＋
∴a2－3a1＝9，a3－3a2＝27， ∴a2＝12，a3＝63. (2)∵an＋1－3an＝3n1，∴
＋
an＋1an＋－n＝1， 3n13
?an?1
∴数列?3n?是首项为，公差为1的等差数列，
3???an?nn?n－1?3n－n
∴数列?3n?的前n项和Sn＝＋＝.
326??
2
2．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n(n∈N*)． (1)求f(x)的解析式；
1?1
(2)若数列{an}满足＝f′??an?，且a1＝4，求数列{an}的通项公式． an＋1解：(1)由f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝2n，
得b＝2n，又f(x)的图象过点(－4n,0)，所以16n2a－4nb＝0， 11
解得a＝.所以f(x)＝x2＋2nx(n∈N*)．
22(2)由(1)知f′(x)＝x＋2n(n∈N*)， 所以
111＝a＋2n，即－a＝2n. an＋1nan＋1n1
11所以－＝2(n－1)，
anan－1＝2(n－2)，
an－1an－2?
11
－＝2， a2a1
11
以上各式相加得a－＝n2－n，所以an＝
n4
11
n－n＋
4
2
1－1，
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即an＝
4*
2(n∈N)． ?2n－1?
3．(2016·南昌一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6，正项数列{bn}满足b1·b2·b3·?·bn＝2Sn.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若λbn>an对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵a1＝1，S3＝6，∴3a1＋3d＝6， ∴数列{an}的公差d＝1，an＝n.
?b2·b3·?·bn＝2Sn， ①?b1·
由题知，?
?b1·b2·b3·?·bn－1＝2Sn－1?n≥2?， ②?
①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)， 又b1＝2S1＝21＝2，满足上式，故bn＝2n. n
(2)λbn>an恒成立?λ>n恒成立，
2n
设cn＝n，
2
当n≥2时，cn<1，数列{cn}单调递减， 11
∴(cn)max＝，故λ>.
22
1
，＋∞?. 所以实数λ的取值范围为??2?
4．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝
111，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<.
32bn·log2a2n＋2
解：(1)由题意知，{an}是首项为1，公比为2的等比数列， ∴an＝a1·2n1＝2n1.
－
－
∴Sn＝2n－1.
设等差数列{bn}的公差为d，则b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7， ∴d＝2，bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)证明：∵log2a2n＋2＝log222n1＝2n＋1，
＋
∴cn＝
11
＝ bn·log2a2n＋2?2n－1??2n＋1?
111
＝?2n－1－2n＋1?， 2??
111111
∴Tn＝?1－3＋3－5＋?＋2n－1－2n＋1?＝
2??
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111
∵n∈N*，∴Tn＝?1－2n＋1?<，
2??21?n1?
1－＝. 2?2n＋1?2n＋1当n≥2时，Tn－Tn－1＝
n－1n1－＝>0， 2n＋12n－1?2n＋1??2n－1?
1
∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝.
311
综上所述，≤Tn<. 32
二上台阶，自主选做志在冲刺名校
xn＋xn＋2(2015·湖南师大附中调研)对于数列{xn}，若对任意n∈N*，都有 2称数列{xn}为“减差数列”．设数列{an}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且7 a1＝1，S3＝. 4 (1)求数列{an}的通项公式，并判断数列{Sn}是否为“减差数列”； (2)设bn＝(2－nan)t＋an，若数列b3，b4，b5，?是“减差数列”，求实数t的取值范围． 解：(1)设数列{an}的公比为q， 7因为a1＝1，S3＝， 47 所以1＋q＋q2＝， 4即4q2＋4q－3＝0， 所以(2q－1)(2q＋3)＝0. 11 因为q>0，所以q＝，所以an＝n－1， 2211－n21 Sn＝＝2－n－1， 121－2 Sn＋Sn＋2111所以＝2－n－n＋2<2－n＝Sn＋1， 2222所以数列{Sn}是“减差数列”． ntn－11 (2)由题设知，bn＝?2－2n－1?t＋n－1＝2t－n－1. ??22由 bn＋bn＋2 tn－1t?n＋2?－1t?n＋1?－1 <2t－， n＋t－n＋222n2 得t－ 第 4 页 共 4 页 tn－1t?n＋2?－1t?n＋1?－1 ＋>，化简得t(n－2)>1. ＋ 2n2n2n2即 1又当n≥3时，t(n－2)>1恒成立，即t>恒成立， n－21 所以t>?n－2?max＝1. ?? 故t的取值范围是(1，＋∞)． 搜索更多关于： 课时跟踪检测（三十三） 数列的综合应用 的文档
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